# Library Coq.Numbers.Natural.SpecViaZ.NSig

Require Import ZArith Znumtheory.
Open Scope Z_scope.

# NSig

Interface of a rich structure about natural numbers. Specifications are written via translation to Z.
Module Type NType.
Parameter t : Type.
Parameter to_Z : t -> Z.
Local Notation "[ x ]" := (to_Z x).
Parameter spec_pos: forall x, 0 <= [ x ].
Parameter of_N : N -> t.
Parameter spec_of_N: forall x, to_Z (of_N x) = Z_of_N x.
Definition to_N n := Zabs_N (to_Z n).
Definition eq n m := [ n ] = [ m ].
Definition lt n m := [ n ] < [ m ].
Definition le n m := [ n ] <= [ m ].
Parameter compare : t -> t -> comparison.
Parameter eq_bool : t -> t -> bool.
Parameter max : t -> t -> t.
Parameter min : t -> t -> t.
Parameter zero : t.
Parameter one : t.
Parameter succ : t -> t.
Parameter pred : t -> t.
Parameter add : t -> t -> t.
Parameter sub : t -> t -> t.
Parameter mul : t -> t -> t.
Parameter square : t -> t.
Parameter power_pos : t -> positive -> t.
Parameter power : t -> N -> t.
Parameter sqrt : t -> t.
Parameter div_eucl : t -> t -> t * t.
Parameter div : t -> t -> t.
Parameter modulo : t -> t -> t.
Parameter gcd : t -> t -> t.
Parameter shiftr : t -> t -> t.
Parameter shiftl : t -> t -> t.
Parameter is_even : t -> bool.
Parameter spec_compare: forall x y, compare x y = Zcompare [ x ] [ y ].
Parameter spec_eq_bool: forall x y, eq_bool x y = Zeq_bool [ x ] [ y ].
Parameter spec_max : forall x y, [ max x y ] = Zmax [ x ] [ y ].
Parameter spec_min : forall x y, [ min x y ] = Zmin [ x ] [ y ].
Parameter spec_0: [ zero ] = 0.
Parameter spec_1: [ one ] = 1.
Parameter spec_succ: forall n, [ succ n ] = [ n ] + 1.
Parameter spec_add: forall x y, [ add x y ] = [ x ] + [ y ].
Parameter spec_pred: forall x, [ pred x ] = Zmax 0 ([ x ] - 1).
Parameter spec_sub: forall x y, [ sub x y ] = Zmax 0 ([ x ] - [ y ]).
Parameter spec_mul: forall x y, [ mul x y ] = [ x ] * [ y ].
Parameter spec_square: forall x, [ square x ] = [ x ] * [ x ].
Parameter spec_power_pos: forall x n, [ power_pos x n ] = [ x ] ^ Zpos n.
Parameter spec_power: forall x n, [ power x n ] = [ x ] ^ Z_of_N n.
Parameter spec_sqrt: forall x, [ sqrt x ] ^ 2 <= [ x ] < ( [ sqrt x ] + 1) ^ 2.
Parameter spec_div_eucl: forall x y,
let (q,r) := div_eucl x y in ( [ q ] , [ r ] ) = Zdiv_eucl [ x ] [ y ].
Parameter spec_div: forall x y, [ div x y ] = [ x ] / [ y ].
Parameter spec_modulo: forall x y, [ modulo x y ] = [ x ] mod [ y ].
Parameter spec_gcd: forall a b, [ gcd a b ] = Zgcd [ a ] [ b ].
Parameter spec_shiftr: forall p x, [ shiftr p x ] = [ x ] / 2^ [ p ].
Parameter spec_shiftl: forall p x, [ shiftl p x ] = [ x ] * 2^ [ p ].
Parameter spec_is_even: forall x,
if is_even x then [ x ] mod 2 = 0 else [ x ] mod 2 = 1.
End NType.
Module Type NType_Notation (Import N:NType).
Notation "[ x ]" := (to_Z x).
Infix "==" := eq (at level 70).
Notation "0" := zero.
Infix "+" := add.
Infix "-" := sub.
Infix "*" := mul.
Infix "<=" := le.
Infix "<" := lt.
End NType_Notation.
Module Type NType' := NType <+ NType_Notation.