% sun4.ctx

\chkodd

\chapter[不能而示之能]{不能而示之能}

\hspace{.4\textwidth}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\k12
兵者, 詭道也。\\
故能而示之不能,\\
用而示之不用,\\
近而示之遠, 遠而示之近;\\
利而誘之, 亂而取之,\\
實而備之, 強而避之,\\
怒而撓之, 卑而驕之,\\
佚而勞之, 親而離之。\\
攻其無備, 出其不意。\\
此兵家之勝, 不可先傳也。\\
\rule{.1\textwidth}{0pt}\rule{.1\textwidth}{0.4pt}
孫子, 計篇
\end{minipage}

\bigskip\bigskip
\noindent
由於虛實策略是孫子處理衝突問題的重要方法,
所以深入研究虛實策略的性質是必要的。 在本章中, 我們嘗試使用賽局論的語言,
對「不能而示之能」的虛實策略作深入的分析。 試圖經由這種討論,
將孫子的虛實策略以現代賽局論的均衡概念加以詮釋,
並瞭解「不能而示之能」策略的可能性質。

\section[緒論]{緒論}
前面提到孫子對虛實問題非常重視,
也提到虛實策略有形式上的虛實 (不改變雙方實力的策略)
與實力上的虛實 (改變雙方相對實力大小的策略) 兩個層面的意義。
而無論是那種意義, 都和訊息的操作有很大的關連。
在賽局論中, 敵對的雙方相知的內容不但影響雙方互動的形式,
更進而因此影響最後勝負的結果 --- 從行動的先後次序 (誰前誰後)、
雙方互動方式 (同時的或順序的)、 到行動策略的選擇 (欺敵或不欺敵)
等不同的策略的行使, 均對雙方的報酬產生影響,
也就是訊息在整個賽局中具有支配的地位, 其重要性不言而喻。

在真實的生活中, 任何面對競爭或衝突問題的決策者, 都瞭解訊息的重要。
只是他們在面對衝突問題時, 不若經濟學家或賽局研究者,
以抽象的 (數學) 工具, (嚴謹的) 詮釋問題的內涵。
但這並不表示他們解決問題的能力, 比起這些操作抽象符號的研究者來得差。
相反的, 有時候必須在「學者」精確的用學術圈裡的語言描述問題之後,
才能真正體會故事裡的主角面對問題的態度和處理問題的方法,
也才能真正瞭解問題裡主角直覺之所在。
特別是影響廣泛的「訊息」問題, 有時候若沒有高人的指點,
不容易看出訊息在問題中的關鍵地位。
在以下這兩章, 我們對欺敵的問題做深入的探討,
以一個特定的賽局, 研究訊息在「不能而示之能」與「能而示之不能」兩個行為中的作用。
試圖經由這樣的分析, 研究應如何利用訊息的特性欺騙對手,
也瞭解在什麼條件下以訊息改變對手的行為才能奏效。
對孫子兵法而言, 這是個頗能予人啟示的研究內容。
因為在我們研究的賽局中, 先動者在特定的條件下,
會採取欺敵的虛實策略; 而此虛實策略是一個純粹策略。

\section[不能而示之能的意義與目的]{不能而示之能的意義與目的}
所謂「不能而示之能」, 指的是採取行動的一方在實力比對手為弱的情形下,
卻採取向對手示之以強的策略。
其所以採取不能而示之能的策略, 不外恫嚇敵人, 使之不敢輕舉妄動;
或令敵人「知難而退」, 以維護自己的利益。
詳言之, 「不能而示之能」的積極意義在於提昇或維護與賽者既有的利益;
而消極方面, 在於保護行動者已有的利益, 或至少使損失減至最少。
歷史上有很多「不能而示之能」的實例,
本章中我們將以中國人家喻戶曉的「空城計」作為研究成果的例證,
以故事的情節襯托我們的賽局模型。\footnote{
雖然三國演義的空城計是一個虛構的故事,
在歷史上, 諸葛亮不曾如此的遭遇司馬懿, 而諸葛亮也不曾在該時該地使過此計,
然而, 空城計這個故事卻可以和我們的主題相互對照。
由於故事把主角描繪的栩栩如生, 而且故事的情節也深具直覺與啟示。
所以雖然空城計只是杜撰的故事, 我們還是很樂意的將空城計當作我們的例證,
為我們的說法提供有趣的註解。}

\section[不能而示之能的模型]{不能而示之能的模型}

\begin{figure}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.85pt}
\fboxsep=15pt
\colorbox{slight}{
\begin{picture}(420,240)(-210,90)
%
% This is the setting of circle. (the nature player)
%
\put(0,300){\circle{20}}
\put(-6,295){$N$}
\put(-150,200){\circle{20}}
\put(-156,195){$N$}
\put(-50,200){\circle{20}}
\put(-56,195){$N$}
\put(50,200){\circle{20}}
\put(44,195){$N$}
\put(150,200){\circle{20}}
\put(144,195){$N$}
%
% The relative force of Player I & Player II.
%
\put(-110,195){\tiny $u^{\prime}>v$}
\put(90,195){\tiny $v>u$}
%
%
% This is the setting of the box.
%               (the decision node of Player I & Player II.)
%
%% Player I
%
\put(-110,260){\line(1,0){20}}
\put(-110,260){\line(0,-1){20}}
\put(-90,240){\line(-1,0){20}}
\put(-90,240){\line(0,1){20}}
\put(-102,245){I}
%
\put(90,260){\line(1,0){20}}
\put(90,260){\line(0,-1){20}}
\put(110,240){\line(-1,0){20}}
\put(110,240){\line(0,1){20}}
\put(98,245){I}
%
%% Player II
%
\put(-160,160){\line(1,0){20}}
\put(-160,160){\line(0,-1){20}}
\put(-140,140){\line(-1,0){20}}
\put(-140,140){\line(0,1){20}}
\put(-154,145){II}
%
\put(-60,160){\line(1,0){20}}
\put(-60,160){\line(0,-1){20}}
\put(-40,140){\line(-1,0){20}}
\put(-40,140){\line(0,1){20}}
\put(-54,145){II}
%
\put(40,160){\line(1,0){20}}
\put(40,160){\line(0,-1){20}}
\put(60,140){\line(-1,0){20}}
\put(60,140){\line(0,1){20}}
\put(46,145){II}
%
\put(140,160){\line(1,0){20}}
\put(140,160){\line(0,-1){20}}
\put(160,140){\line(-1,0){20}}
\put(160,140){\line(0,1){20}}
\put(146,145){II}
%
%
%% The strategies of the Players.
%
% The strategy of Player II.
%
\put(-160,140){\line(-3,-5){15}}
\put(-140,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(-60,140){\line(-3,-5){15}}
\put(-40,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(40,140){\line(-3,-5){15}}
\put(60,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(140,140){\line(-3,-5){15}}
\put(160,140){\line(3,-5){15}}
%
% The Strategies of the Player I
%
\put(-110,240){\line(-1,-1){32.92}}
\put(-90,240){\line(1,-1){32.92}}
\put(90,240){\line(-1,-1){32.92}}
\put(110,240){\line(1,-1){32.92}}
%
%
% The Strategies of the Nature I.
%
\put(-90,260){\line(2,1){81.33}}
\put(90,260){\line(-2,1){81.33}}
\put(-10,300){\line(-4,-1){70}}
\put(10,300){\line(4,-1){70}}
%
%
% The Strategies of the Nature II.
%
\put(-158.66,193){\line(-5,-3){20}}
\put(158.66,193){\line(5,-3){20}}
\put(-142.33,193){\line(5,-3){20}}
\put(142.33,193){\line(-5,-3){20}}
\put(-58.66,193){\line(-5,-3){20}}
\put(58.66,193){\line(5,-3){20}}
\put(-42.33,193){\line(5,-3){20}}
\put(42.33,193){\line(-5,-3){20}}
\put(-150,190){\line(0,-1){30}}
\put(-50,190){\line(0,-1){30}}
\put(50,190){\line(0,-1){30}}
\put(150,190){\line(0,-1){30}}
%
%  The payoff of Player I & Player II.
%
\put(-190,102){{\scriptsize $(d,\tilde{d})$}}
\put(-140,102){{\scriptsize $(c,\tilde{c})$}}
\put(-90,102){{\scriptsize $(b,\tilde{b})$}}
\put(-40,102){{\scriptsize $(a,\tilde{a})$}}
\put(10,102){{\scriptsize $(h,\tilde{h})$}}
\put(60,102){{\scriptsize $(g,\tilde{g})$}}
\put(110,102){{\scriptsize $(f,\tilde{f})$}}
\put(160,102){{\scriptsize $(e,\tilde{e})$}}
%
% The Information Set of Player II
%
\qbezier[80](-40,140)(50,113)(140,140)
\qbezier[80](-140,160)(-50,197)(40,160)
%
% The Type of Players
%
\put(-50,270){$u^{\prime}$}
\put(40,270){$u$}
\put(-149,170){$v$}
\put(-49,170){$v$}
\put(51,170){$v$}
\put(151,170){$v$}
%
% The Probability of Strategy
%
\put(-160,230){{\tiny $1-p(u^{\prime})$}}
\put(-72,230){{\tiny $p(u^{\prime})$}}
\put(40,230){{\tiny $1-p(u)$}}
\put(125,230){{\tiny $p(u)$}}
\put(-208,123){{\tiny $1-q_{2}(v)$}}
\put(-127,123){{\tiny $q_{2}(v)$}}
\put(92,123){{\tiny $1-q_{1}(v)$}}
\put(175,123){{\tiny $q_{1}(v)$}}
%
% The Name of the Strategy.
%
\put(-130,215){{\tiny $D$}}
\put(-75,215){{\tiny $A$}}
\put(70,215){{\tiny $D$}}
\put(125,215){{\tiny $A$}}
\put(-70,120){{\tiny $D$}}
\put(-38,120){{\tiny $A$}}
\put(32,120){{\tiny $D$}}
\put(60,120){{\tiny $A$}}
%
\end{picture}}
\caption{兩軍對抗的決策樹。}
\label{tree}
\par\medskip\parbox{.8\textwidth}{
說明: I 代表 Player I, II 代表 Player II,
$N$ 代表與雙方利益無關的第三者 (the nature),
其隨機地決定與賽者的實力。 $u$ 為 Player I 的實力,
$v$ 為 Player II 的實力。}
\end{center}
\end{figure}

圖\Z\ref{tree}\Z 是我們賽局模型的決策樹。 在這個模型中,
與賽者先後行動後結束本賽局。
假設 Player I 與 Player II 為敵對的雙方,
其互動的方式如圖\Z\ref{tree}\Z
的展開形式賽局 (extensive form game) 順序行動:
Player I 先動, Player II 看到 Player I 的行為後再決定其行動而結束本賽局。
{\bb12 \textbf{Player I} 與 \textbf{Player II}
在採取行動前知道自己的實力, 但都不知道對手的實力。}
對與賽者有以下幾點設定:
\begin{enumerate}\itemsep=-3pt
\item 令 Player I 的實力為 $u$, Player II 的實力為 $v$。
      所有與賽者的實力 ($u$ 與 $v$) 由 0 到 1 的數字表示。
\item 假設雙方的實力由與雙方利益無關的第三者
      (the nature) 依均等分配 (uniform distribution) 隨機選定。
\item Player I 與 Player II 的策略有 A 與 D 兩種: A 稱為``積極'' (aggressive)
      的策略, 例如進攻或是應戰; D 稱為``消極'' (defensive) 的行動,
      例如防守或退逃。
\item 與賽者的行為被限制在給定的展開形式賽局中。
\item Player I 與 Player II 為敵對的雙方, 它們的利益相互衝突。\footnote{
它們的利害可以用零和賽局或定合賽局來詮釋, 但這並非必要。}
\item 與賽者均為風險中立者。
\item 與賽者僅重視報酬所得。
\item Player I 與 Player II 的報酬與其行為有關。
      當 Player II 選擇 A 策略時, 無論 Player I 選 A 策略或 D 策略,
      勝負由與賽者實力的大小比較決定。 當 Player II
      選擇 D 策略時, Player I 與 Player II 的所得由 Player I
      的行為決定(與實力無關),
      此時 Player I 之所得將等於或大於 Player II 的所得。
\item 當 Player I 無論選擇 A 或 D 策略對期望報酬沒有影響時, 則規定 Player I
      選擇 A 策略。
\item 當 Player II 看到 Player I 採取 D 策略, 若其選擇 A 或 D
      策略對其報酬都沒有影響時, 我們假設 Player II 會選擇 D 策略。
\end{enumerate}
%\fontsize{12}{22pt plus 1pt minus .5pt}\selectfont
在圖\Z\ref{tree}\Z 中, $p(u)$ 代表 player I 採取 A 策略的機率,
$q_1(v)$ 與 $q_2(v)$ 分別代表 player II 在
player I 採 A 策略與 D 策略的 information set 下選 A 策略的機率;
而 \( 1 - p(u) \) 則代表 Player I 選擇 D 策略的機率,
\( 1 - q_1(v) \) 與 \( 1 - q_2(v) \) 則分別代表 player II
在 player I 選擇 A 與 D 策略的 information set 下選 D 策略的機率。
其中, 第九個與第十個假設的目的在於方便求解,
稍後將會看到, 其行為意義在於排除混合策略, 而以純粹策略代替之。
如此將使得數學運算變得簡單而沒有模糊不清楚之處。
在以下的分析, 我們將解出 Player I 與 Player II
的 Nash 均衡策略 (Nash equilibrium strategy)。
賽局中, Player II 決策前會看到 Player I 的行為,
特殊的是, Player I 可以利用這種先發制人的戰略行動 (strategic move)
產生戰略作用 (strategic effect),
影響 Player II 的決策, 使 Player II (可能) 作出對 Player I 有利的決定。

由圖\Z\ref{tree}\Z 的展開形式賽局中可得 Player I 的期望報酬, $E_1(u)$:
\begin{eqnarray*}
E_{1}(u) &=&\int_{0}^{u}\{(1-p)[d(1-q_{2})+cq_{2}]+p[b(1-q_{1})+aq_{1}]\}dv
\\
&&+\int_{u}^{1}\{(1-p)[h(1-q_{2})+gq_{2}]+p[f(1-q_{1})+eq_{1}]\}dv
\end{eqnarray*}
在 $E_1(u)$ 中, 前面的積分代表 Player I 贏的期望報酬 (因為 $0 < v < u$),
後面的積分式 (若 $u<v<1$) 表示 Player I 輸的期望報酬。
所以贏的期望值加輸的期望值就是 Player I 的總期望報酬。
將 $E_1(u)$ 整理, 則可得到下式:
\begin{equation*}
E_{1}(u)=p(u)S_{1}(u)+T_{1}(u)
\end{equation*}
其中,
\begin{eqnarray*}
T_{1}(u) &=&h+(d-h)u+(c-d)\int_{0}^{u}q_{2}(v)dv+(q-h)\int_{u}^{1}q_{2}(v)dv
\\
S_{1}(u) &=&(f-h)+[(b-d)-(f-h)]u \\
&&+(a-b)\int_{0}^{u}q_{1}(v)dv-(c-d)\int_{0}^{u}q_{2}(v)dv \\
&&+(e-f)\int_{u}^{1}q_{1}(v)dv-(g-h)\int_{u}^{1}q_{2}(v)dv
\end{eqnarray*}
同理, Player II 的期望報酬可以整理成:
\begin{equation*}
E_{2}(v)=T_{2}(v)+q_{2}(v)S_{22}(v)+q_{1}(v)S_{21}(v)
\end{equation*}
其中
\begin{eqnarray*}
T_{2}(v) &=&\widetilde{d}+(\widetilde{h}-\widetilde{d})v+(\widetilde{f}-%
\widetilde{h})\int_{0}^{v}p(u)du+(\widetilde{b}-\widetilde{d}%
)\int_{v}^{1}p(u)du \\
S_{21}(v) &=&(\widetilde{e}-\widetilde{f})\int_{0}^{v}p(u)du+(\widetilde{a}-%
\widetilde{b})\int_{v}^{1}p(u)du \\
S_{22}(v) &=&(\widetilde{c}-\widetilde{d})+[(\widetilde{g}-\widetilde{h})-(%
\widetilde{c}-\widetilde{d})]v-(\widetilde{g}-\widetilde{h}%
)\int_{0}^{v}p(u)du \\
&&-(\widetilde{c}-\widetilde{d})\int_{v}^{1}p(u)du
\end{eqnarray*}
有了與賽者的標的函數,
我們可以經由各與賽者極大化其期望報酬, 找出各決策者的均衡策略。
因為 $p(u)$、 $q_1(v)$ 與 $q_2(v)$ 為與賽者的決策變數,
令 $E_1(u)$ 與 $E_2(u)$ 分別對兩位與賽者的決策變數微分,
從所得的一階條件中可判斷與賽者的最適策略:

\medskip
\noindent
對 player I, 由期望報酬 $E_1(u)=p(u)S_1(u) + T_1(u)$ 可以判斷最適的策略選擇:
\begin{equation*}
\frac{\partial E_{1}(u)}{\partial p(u)}=S_{1}(u)
\end{equation*}
若 $S_1(u) > 0$, 應採取積極的 A 策略, 即 $p(u) = 1$;\\
若 $S_1(u) < 0$, 應採取消極的 D 策略, 即 $p(u) = 0$;\\
當 $S_1(u)$ 為零時, 選擇 $0 \leq p(u) \leq 1$ 均可。\\
以上的選擇方式可以讓 Player I 得到 $E_1(u)$ 的極大值。

\medskip
\noindent
而 player II 的最適策略選擇也透過\
$q_2(v)S_{22}(v) + q_1(v)S_{21}(v) + T_2(v)$ 來決定, 由
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial E_{2}(u)}{\partial q_{2}(v)} &=&S_{22}(v) \\
\frac{\partial E_{2}(u)}{\partial q_{1}(v)} &=&S_{21}(v)
\end{eqnarray*}
若 $S_{22}(v)$ 為正, 應選 $q_2(v) = 1$;\\
若 $S_{22}(v)$ 為負, 則應選 $q_2(v) = 0$。\\
當 $S_{22}(u)=0$ 時, 選擇 $0 \leq q_2(v) \leq 1$ 均可。\\
同理 $q_1(v)$ 類推。

\medskip
\noindent
在推論的過程中,
由於 $p(u)$, $q_1(v)$ 與 $q_2(v)$ 的決定均與
$S^{\ast}_1(u)$、 $S^{\ast}_{21}(v)$、 $S^{\ast}_{22}(v)$ 有關,
所以我們稱 $S^{\ast}_1(u)$、 $S^{\ast}_{21}(v)$ 與 $S^{\ast}_{22}(v)$
為均衡策略下的``最適選擇依據''。

對 $S_1$, $S_{21}$ 與 $S_{22}$ 取微分得
\begin{eqnarray*}
S_{1}^{{\prime }}(u) &=&[(b-d)-(f-h)]+[(a-b)-(e-f)]q_{1}(u) \\
&&-[(c-d)-(g-h)]q_{2}(u) \\
S_{21}^{{\prime }}(v) &=&[(\widetilde{e}-\widetilde{f})-(\widetilde{a}-%
\widetilde{b})]p(v) \\
S_{22}^{{\prime }}(v) &=&[(\widetilde{g}-\widetilde{h})-(\widetilde{c}-%
\widetilde{d})][1-p(v)]
\end{eqnarray*}
我們發現 $S_1(.)$、 $S_{21}(.)$
以及 $S_{22}(.)$ 它們的斜率也交互影響著與賽者的最適選擇。

\begin{figure}[!t]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.75pt}
\scriptsize
\fboxsep=15pt
\colorbox{slight}{
\begin{picture}(400,400)(-200, -50)
%
%
\put(-180,10){\vector(1,0){150}}
\put(-180,10){\vector(0,1){120}}
\put(-200,135){$q_1(v),q_2(v)$}
\put(-25,10){$v$}
\put(-60,0){1}
\put(-188,7){0}
\put(-188,110){1}
\qbezier[35](-60,10)(-60,60)(-60,110)
\thicklines
\put(-168,110){\line(1,0){108}}
\qbezier(-180,30)(-174,30)(-168,85)
\put(-165,95){$q_2(v)$}
\put(-168,0){$\xi$}
\thinlines
\put(-108,107){\line(1,0){48}}
\qbezier[35](-168,10)(-168,60)(-168,110)
\qbezier(-168,40)(-138,40)(-108,85)
\put(-105,85){$q_1(v)$}
\qbezier[35](-108,10)(-108,60)(-108,110)
\put(-108,0){$\eta$}
\put(-180,13){\line(1,0){12}}
\put(-120,-30){(c)}
%
\thinlines
\put(-180,250){\vector(1,0){150}}
\put(-180,210){\vector(0,1){120}}
\put(-200,335){$S_{21},S_{22}$}
\put(-25,250){$v$}
\put(-67,240){1}
\put(-188,250){0}
\qbezier[35](-60,210)(-60,260)(-60,310)
\thicklines
%S_22
\put(-180,250){\line(1,0){12}}
\qbezier(-168,250)(-138,250)(-108,290)
\put(-164,240){$\xi$}
\put(-108,290){\line(1,0){48}}
\put(-105,295){$S_{22}$}
%S_21
\qbezier(-180,226)(-174,226)(-168,248)
\put(-168,248){\line(1,0){60}}
\qbezier(-108,248)(-84,248)(-60,298)
\put(-100,263){$S_{21}$}
\put(-108,240){$\eta$}
\put(-120,195){(a)}
%
%
%
\thinlines
\put(40,10){\vector(1,0){150}}
\put(40,10){\vector(0,1){120}}
\put(195,10){$u$}
\put(30,135){$p(u)$}
\put(32,10){0}
\put(32,110){1}
\qbezier[35](160,10)(160,60)(160,110)
\put(160,0){1}
%p(u)
\thicklines
\put(40,12){\line(1,0){12}}
\qbezier[35](52,10)(52,60)(52,110)
\put(52,0){$\xi$}
\put(112,110){\line(1,0){48}}
\put(115,115){$p(u)$}
\qbezier[35](112,10)(112,60)(112,110)
\put(112,0){$\eta$}
\qbezier(52,30)(82,30)(112,90)
\put(100,-30){(d)}
%
\thinlines
\put(40,250){\vector(1,0){150}}
\put(40,210){\vector(0,1){120}}
\put(195,250){$u$}
\put(30,335){$S_1$}
\put(32,250){0}
\qbezier[35](160,210)(160,260)(160,310)
\put(153,240){1}
\thicklines
\qbezier(52,250)(82,250)(112,250)
\put(54,240){$\xi$}
\qbezier(40,240)(46,240)(52,250)
\qbezier(112,250)(136,290)(160,290)
\put(115,275){$S_1$}
\put(106,240){$\eta$}
\put(100,195){(b)}
\end{picture}}
%\ \\*
%%\fontsize{12}{15pt plus 1pt minus .5pt}\selectfont
\sz12
\caption{沒有「不能而示之能」的策略均衡}
\label{noway}
\par\medskip\parbox{.8\textwidth}{
說明： Player I 的最適均衡策略 $p^\ast$ 以及 Player II
的最適均衡策略 $q^\ast_{21}$ 與 $q^\ast_{22}$。}
\end{center}
\end{figure}

將上面推導的數學式整理,
我們發現 $S_1(u), S_{21}(v)$, $S_{22}(v)$
還有它們的斜率都對與賽者的策略選擇有所影響。
而 $S_1(u)$ 與 $S_1{\prime}(u)$ 中有 $q_1(.)$ 與 $q_2(.)$,
以及 $S_{21}(v)$, $S_{22}(v)$ 中有 $p(.)$, 表示它們變動的趨勢彼此交互影響。
由於 $S_1(u), S_{21}(v)$ 與 $S_{22}(v)$ 分別為 Player I,
Player II 的最適選擇依據,
在行為意義上, 這表示先動者與後動者之間策略的選擇彼此牽制,
相互關連。 至於上述的數學關係式, 在我們的賽局模型中已是完整的行為關係式。
只要我們將這些式子仔細的整理,
就可以畫出如圖\Z\ref{noway}\Z 兩位賽者一種可能的最適均衡策略。
在圖\Z\ref{noway}\Z 中,
Player I 與 Player II 的實力大於 $\eta$ 時, 都會選擇純粹的 A 策略,
在小於一定的實力 ($\xi$) 的區域, 會選擇純粹的 D 策略。

\begin{figure}[!t]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.75pt}
\fboxsep=15pt
\colorbox{slight}{
\begin{picture}(420,240)(-210,90)
%
%%
%%
%% This is the setting of circle. (the nature player)
%
\put(0,300){\circle{20}}
\put(-6,295){$N$}
\put(-150,200){\circle{20}}
\put(-156,195){$N$}
\put(-50,200){\circle{20}}
\put(-56,195){$N$}
\put(50,200){\circle{20}}
\put(44,195){$N$}
\put(150,200){\circle{20}}
\put(144,195){$N$}
%
% The relative force of Player I & Player II.
%
\put(-110,195){\tiny $u^{\prime}>v$}
\put(90,195){\tiny $v>u$}
%
%
% This is the setting of the box.
%               (the decision node of Player I & Player II.)
%
%% Player I
%
\put(-110,260){\line(1,0){20}}
\put(-110,260){\line(0,-1){20}}
\put(-90,240){\line(-1,0){20}}
\put(-90,240){\line(0,1){20}}
\put(-102,245){I}
%
\put(90,260){\line(1,0){20}}
\put(90,260){\line(0,-1){20}}
\put(110,240){\line(-1,0){20}}
\put(110,240){\line(0,1){20}}
\put(98,245){I}
%
%% Player II
%
\put(-160,160){\line(1,0){20}}
\put(-160,160){\line(0,-1){20}}
\put(-140,140){\line(-1,0){20}}
\put(-140,140){\line(0,1){20}}
\put(-154,145){II}
%
\put(-60,160){\line(1,0){20}}
\put(-60,160){\line(0,-1){20}}
\put(-40,140){\line(-1,0){20}}
\put(-40,140){\line(0,1){20}}
\put(-54,145){II}
%
\put(40,160){\line(1,0){20}}
\put(40,160){\line(0,-1){20}}
\put(60,140){\line(-1,0){20}}
\put(60,140){\line(0,1){20}}
\put(46,145){II}
%
\put(140,160){\line(1,0){20}}
\put(140,160){\line(0,-1){20}}
\put(160,140){\line(-1,0){20}}
\put(160,140){\line(0,1){20}}
\put(146,145){II}
%
%
%% The strategies of the Players.
%
% The strategy of Player II.
%
\put(-160,140){\line(-3,-5){15}}
\put(-140,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(-60,140){\line(-3,-5){15}}
\put(-40,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(40,140){\line(-3,-5){15}}
\put(60,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(140,140){\line(-3,-5){15}}
\put(160,140){\line(3,-5){15}}
%
% The Strategies of the Player I
%
\put(-110,240){\line(-1,-1){32.92}}
\put(-90,240){\line(1,-1){32.92}}
\put(90,240){\line(-1,-1){32.92}}
\put(110,240){\line(1,-1){32.92}}
%
%
% The Strategies of the Nature I.
%
\put(-90,260){\line(2,1){81.33}}
\put(90,260){\line(-2,1){81.33}}
\put(-10,300){\line(-4,-1){70}}
\put(10,300){\line(4,-1){70}}
%
%
% The Strategies of the Nature II.
%
\put(-158.66,193){\line(-5,-3){20}}
\put(158.66,193){\line(5,-3){20}}
\put(-142.33,193){\line(5,-3){20}}
\put(142.33,193){\line(-5,-3){20}}
\put(-58.66,193){\line(-5,-3){20}}
\put(58.66,193){\line(5,-3){20}}
\put(-42.33,193){\line(5,-3){20}}
\put(42.33,193){\line(-5,-3){20}}
\put(-150,190){\line(0,-1){30}}
\put(-50,190){\line(0,-1){30}}
\put(50,190){\line(0,-1){30}}
\put(150,190){\line(0,-1){30}}
%
%  The payoff of Player I & Player II.
%
\put(-190,102){{\scriptsize $(1,-1)$}}
\put(-140,102){{\scriptsize $(1,-1)$}}
\put(-90,102){{\scriptsize $(2,-2)$}}
\put(-40,102){{\scriptsize $(3,-3)$}}
\put(10,102){{\scriptsize $(1,-1)$}}
\put(60,102){{\scriptsize $(-1,1)$}}
\put(110,102){{\scriptsize $(2,-2)$}}
\put(160,102){{\scriptsize $(-3,3)$}}
%
% The Information Set of Player II
%
\qbezier[80](-40,140)(50,113)(140,140)
\qbezier[80](-140,160)(-50,197)(40,160)
%
% The Type of Players
%
\put(-50,270){$u^{\prime}$}
\put(40,270){$u$}
\put(-149,170){$v$}
\put(-49,170){$v$}
\put(51,170){$v$}
\put(151,170){$v$}
%
% The Probability of Strategy
%
\put(-160,230){{\tiny $1-p(u^{\prime})$}}
\put(-72,230){{\tiny $p(u^{\prime})$}}
\put(40,230){{\tiny $1-p(u)$}}
\put(125,230){{\tiny $p(u)$}}
\put(-208,123){{\tiny $1-q_{2}(v)$}}
\put(-127,123){{\tiny $q_{2}(v)$}}
\put(92,123){{\tiny $1-q_{1}(v)$}}
\put(175,123){{\tiny $q_{1}(v)$}}
%
% The Name of the Strategy.
%
\put(-130,215){{\tiny $D$}}
\put(-75,215){{\tiny $A$}}
\put(70,215){{\tiny $D$}}
\put(125,215){{\tiny $A$}}
\put(-70,120){{\tiny $D$}}
\put(-38,120){{\tiny $A$}}
\put(32,120){{\tiny $D$}}
\put(60,120){{\tiny $A$}}
%
\end{picture}}
%\ \\*
\caption{以數字報酬為例的「不能而示之能」決策樹}
\label{no-number}
\end{center}
\end{figure}

\section[不能而示之能模型的數字例子]{不能而示之能模型的數字例子}
經由以上的說明, 只要循序漸進, 在一定條件下,
我們就可以找出 Player I 與 Player II 如圖\Z\ref{noway}\Z 的最適選擇。
在此我們舉一個數字的例子, 如圖\Z\ref{no-number}。
在圖\Z\ref{no-number}\Z  的中, Player I 與 Player II 的報酬與他們之間的策略組合有關。
無論 Player I 選擇任何策略, 若 Player II 選擇 D 策略,
則 Player I 得正的報酬而 Player II 得負的報酬,
其中 Player I 選擇 A 策略的報酬 2, 高於 D 策略的報酬 1。
當 Player II 選擇 A 策略時, 勝負由雙方實力決定之。
當 Player I 選擇 A 策略時, 勝者得 3, 負者得 -3;
當 Player I 選擇 D 策略時, 勝者得 1, 負者得 -1。
所以對先採取行動的 Player I 而言,
當 Player I 選擇 A 策略時, 勝負報酬的大小變異比採取 D 策略為大。
在這種報酬關係下, 我們分別解出 Player I 以及 Player II
的均衡策略 (equilibrium strategy), 見圖 4.4。
和圖\Z\ref{noway}\Z 不同的是, 在圖 4.4 中, Player I 不但在具有相當實力的區域
$(u > \eta)$ 會選擇積極的 A 策略;
而且 Player I 在實力相當小的區域 $(u < \xi)$ 也會選擇積極的 A 策略。
當實力介於 $(\xi, \eta)$ 之間, 則選擇消極的 D 策略。
經由計算, 可得:\ $(\xi$,$\eta)=(\frac{4}{51}, \frac{31}{51})$。

\begin{figure}[!t]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.75pt}
\scriptsize
\fboxsep=15pt
\colorbox{slight}{
\begin{picture}(400,400)(-200,-50)
%
%
\put(-180,10){\vector(1,0){150}}
\put(-180,10){\vector(0,1){120}}
\put(-200,135){$q_1(v), q_2(v)$}
\put(-25,10){$v$}
\put(-60,0){1}
\put(-188,7){0}
\put(-188,110){1}
\qbezier[35](-60,10)(-60,60)(-60,110)
\thicklines
\put(-168,110){\line(1,0){108}}
\qbezier(-180,30)(-174,30)(-168,85)
\put(-165,95){$q_2(v)$}
\put(-168,0){$\xi$}
\thinlines
\put(-108,107){\line(1,0){48}}
\qbezier[35](-168,10)(-168,60)(-168,110)
\qbezier(-168,40)(-138,40)(-108,85)
\put(-105,85){$q_1(v)$}
\qbezier[35](-108,10)(-108,60)(-108,110)
\put(-108,0){$\eta$}
\put(-180,13){\line(1,0){12}}
\put(-120,-30){(c)}
%
\thinlines
\put(-180,250){\vector(1,0){150}}
\put(-180,210){\vector(0,1){120}}
\put(-200,335){$S_{21},S_{22}$}
\put(-25,250){$v$}
\put(-67,240){1}
\put(-188,250){0}
\qbezier[35](-60,210)(-60,260)(-60,310)
\thicklines
%S_22
\put(-180,250){\line(1,0){12}}
\qbezier(-168,250)(-138,250)(-108,290)
\put(-164,240){$\xi$}
\put(-108,290){\line(1,0){48}}
\put(-105,295){$S_{22}$}
%S_21
\qbezier(-180,226)(-174,226)(-168,248)
\put(-168,248){\line(1,0){60}}
\qbezier(-108,248)(-84,248)(-60,298)
\put(-100,263){$S_{21}$}
\put(-108,240){$\eta$}
\put(-120,195){(a)}
%
%
%
\thinlines
\put(40,10){\vector(1,0){150}}
\put(40,10){\vector(0,1){120}}
\put(195,10){$u$}
\put(30,135){$p(u)$}
\put(32,10){0}
\put(32,110){1}
\qbezier[35](160,10)(160,60)(160,110)
\put(160,0){1}
%p(u)
\thicklines
\put(40,110){\line(1,0){12}}
\qbezier[35](52,10)(52,60)(52,110)
\put(52,0){$\xi$}
\put(112,110){\line(1,0){48}}
\put(115,115){$p(u)$}
\qbezier[35](112,10)(112,60)(112,110)
\put(112,0){$\eta$}
\put(52,10){\line(1,0){60}}
\put(100,-30){(d)}
%
\thinlines
\put(40,250){\vector(1,0){150}}
\put(40,210){\vector(0,1){120}}
\put(195,250){$u$}
\put(30,335){$S_1$}
\put(32,250){0}
\qbezier[35](160,210)(160,260)(160,310)
\put(153,240){1}
\thicklines
\qbezier(52,250)(82,220)(112,250)
\put(54,252){$\xi$}
\qbezier(40,260)(46,260)(52,250)
\qbezier(112,250)(136,290)(160,290)
\put(115,275){$S_1$}
\put(106,252){$\eta$}
\put(100,195){(b)}
\end{picture}}
\caption{「不能而示之能」的均衡策略}
\par\medskip\parbox{.7\textwidth}{\sz12\m12
說明： Player I 的最適均衡策略 $p^\ast$ 以及 Player II
的最適均衡策略 $q^\ast_{21}$ 與 $q^\ast_{22}$。}
\end{center}
\end{figure}

從圖\Z\ref{no-number}\Z  數字的例子,
我們瞭解 Player I 在實力相當薄弱之處也有可能採取積極的純粹策略 (如圖 4.4)。
由於 Player I 是在實力很小的區域採取這種策略,
我們稱這種行為為「不能而示之能」。\footnote{
相通於「不能而示之能」的詞彙有「虛張聲勢」等。}
這種策略可能的結果是帶給 Player II 混淆的訊息, 也就是說,
Player II 不能單純的從 Player I 的行為猜測 Player I 的實力。
如果某一次 Player I 的實力真的落在這個區域,
Player I 採取「不能而示之能」的策略就可能因此成功的引導
Player II 做出錯誤的決定。

在我們大致瞭解所謂「不能而示之能」的意義後,
以下對「不能而示之能」下個嚴謹的定義, 將有助於稍後的分析:

\begin{define}
在如圖\Z\ref{tree}\Z 順序行動的賽局 (the sequential move game) 中,
當先動的 Player I 在實力 $u \in (0, \xi)$, 採取 $p(u) = 1$ 的純粹策略,
則稱此先動者的行為 (action) 為「不能而示之能」。
\end{define}

由定義 4.1 對「不能而示之能」的定義,
我們可以得到以下關於「不能而示之能」定義的輔理。

\begin{lem}
\f12
在如圖 \ref{4-1} 給定的展開形式賽局下,
Player I 採取「不能而示之能」策略的另一個意義是
\begin{equation*}
S_{1}^{\ast }(0)>0
\end{equation*}
若以參數化的報酬表示, 則為
\small
\begin{equation}
e\int_{0}^{1}q_{1}^{\ast }(v)dv+f\left( 1-\int_{0}^{1}q_{1}^{\ast
}(v)dv\right) >g\int_{0}^{1}q_{2}^{\ast }(v)dv+h\left(
1-\int_{0}^{1}q_{2}^{\ast }(v)dv\right) \label{4-1}
%\ \ \ \ (4.1)
\end{equation}
\end{lem}

\begin{proof}
由於我們考慮的是在 $(0, \xi)$ 間一定會選擇 $p(u) = 1$ 的純粹策略,
由一階導數:
\begin{equation*}
\frac{\partial E_{1}(u)}{\partial p(u)}=S_{1}(u)
\end{equation*}
所以當 $S^{\ast}_1(0) > 0$,
一定存在一個區間 $(0,\xi)$, $\xi > 0$, 使滿足 $ u<\xi $ 的 u 值,
有 $ S^{\ast}_1(u) > 0 $ 的性質, 由此得證。
\end{proof}

雖然有了「不能而示之能」的定義,
但我們能無法判斷在什麼情形下應當採取「不能而示之能」的策略。
因為對於各種不同的報酬, Player I 與 Player II 會有不同的策略。
也就是說, Player I 與 Player II 應該針對不同的環境採取適當的策略,
追求最好的報酬。 圖\Z\ref{noway}\Z 與圖 4.4 的不同,
正說明不同的報酬關係對行為會產生不同的影響。
對 Player I 而言, 如圖 4.4 的均衡策略並非在任何報酬關係下都會出現。
也就是說, 並非在任何的情況
Player I 採取「不能而示之能」的策略都是最好的策略。

\section[不能而示之能的一組充分條件]{不能而示之能的一組充分條件}
從上一節數字的例子裡, 我們發現 Player I 會採取不能而示之能的策略,
但是, 到底什麼樣的條件能保證「不能而示之能」是與賽者的最適策略?
這些條件是否具備經濟意義? 這對我們瞭解「不能而示之能」的性質有很重要的啟示。

在數學上, 針對我們的模型, 要找出一些「不能而示之能」的條件, 雖然麻煩,
但不困難。\footnote{
%\m10
但如果要找出{\bb10 所有的}「不能而示之能」的條件,
對我們的模型而言, 是一個困難的問題。
因為我們的模型是個具有雙邊不確定性
(two-side uncertainty) 的賽局, 所以在求解的技巧上,
必須具備相當的能力才能達成。}
%\m12
然而並不是每個找得到的條件都有 (良好的) 經濟意義,
因為唯有符合人的經驗的理論才是好的理論, 而不是單純的數學遊戲。
在這節裡, 我們找出一個有良好經濟意義的參數條件,
對於任何符合該條件的報酬, 先動的 Player I 都會採取「不能而示之能」的策略。

\begin{figure}[!t]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.85pt}
\fboxsep=15pt
\colorbox{slight}{
\begin{picture}(420,240)(-210,90)
%
%%
%%
%% This is the setting of circle. (the nature player)
%
\put(0,300){\circle{20}}
\put(-6,295){$N$}
\put(-150,200){\circle{20}}
\put(-156,195){$N$}
\put(-50,200){\circle{20}}
\put(-56,195){$N$}
\put(50,200){\circle{20}}
\put(44,195){$N$}
\put(150,200){\circle{20}}
\put(144,195){$N$}
%
% The relative force of Player I & Player II.
%
\put(-110,195){\tiny $u^{\prime}>v$}
\put(90,195){\tiny $v>u$}
%
%
% This is the setting of the box.
%               (the decision node of Player I & Player II.)
%
%% Player I
%
\put(-110,260){\line(1,0){20}}
\put(-110,260){\line(0,-1){20}}
\put(-90,240){\line(-1,0){20}}
\put(-90,240){\line(0,1){20}}
\put(-102,245){I}
%
\put(90,260){\line(1,0){20}}
\put(90,260){\line(0,-1){20}}
\put(110,240){\line(-1,0){20}}
\put(110,240){\line(0,1){20}}
\put(98,245){I}
%
%% Player II
%
\put(-160,160){\line(1,0){20}}
\put(-160,160){\line(0,-1){20}}
\put(-140,140){\line(-1,0){20}}
\put(-140,140){\line(0,1){20}}
\put(-154,145){II}
%
\put(-60,160){\line(1,0){20}}
\put(-60,160){\line(0,-1){20}}
\put(-40,140){\line(-1,0){20}}
\put(-40,140){\line(0,1){20}}
\put(-54,145){II}
%
\put(40,160){\line(1,0){20}}
\put(40,160){\line(0,-1){20}}
\put(60,140){\line(-1,0){20}}
\put(60,140){\line(0,1){20}}
\put(46,145){II}
%
\put(140,160){\line(1,0){20}}
\put(140,160){\line(0,-1){20}}
\put(160,140){\line(-1,0){20}}
\put(160,140){\line(0,1){20}}
\put(146,145){II}
%
%
%% The strategies of the Players.
%
% The strategy of Player II.
%
\put(-160,140){\line(-3,-5){15}}
\put(-140,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(-60,140){\line(-3,-5){15}}
\put(-40,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(40,140){\line(-3,-5){15}}
\put(60,140){\line(3,-5){15}}
%
\put(140,140){\line(-3,-5){15}}
\put(160,140){\line(3,-5){15}}
%
% The Strategies of the Player I
%
\put(-110,240){\line(-1,-1){32.92}}
\put(-90,240){\line(1,-1){32.92}}
\put(90,240){\line(-1,-1){32.92}}
\put(110,240){\line(1,-1){32.92}}
%
%
% The Strategies of the Nature I.
%
\put(-90,260){\line(2,1){81.33}}
\put(90,260){\line(-2,1){81.33}}
\put(-10,300){\line(-4,-1){70}}
\put(10,300){\line(4,-1){70}}
%
%
% The Strategies of the Nature II.
%
\put(-158.66,193){\line(-5,-3){20}}
\put(158.66,193){\line(5,-3){20}}
\put(-142.33,193){\line(5,-3){20}}
\put(142.33,193){\line(-5,-3){20}}
\put(-58.66,193){\line(-5,-3){20}}
\put(58.66,193){\line(5,-3){20}}
\put(-42.33,193){\line(5,-3){20}}
\put(42.33,193){\line(-5,-3){20}}
\put(-150,190){\line(0,-1){30}}
\put(-50,190){\line(0,-1){30}}
\put(50,190){\line(0,-1){30}}
\put(150,190){\line(0,-1){30}}
%
%  The payoff of Player I & Player II.
%
\put(-190,102){{\scriptsize $(d,\tilde{d})$}}
\put(-140,102){{\scriptsize $(c,-c)$}}
\put(-90,102){{\scriptsize $(b,-b)$}}
\put(-40,102){{\scriptsize $(a,-a)$}}
\put(10,102){{\scriptsize $(h,\tilde{h})$}}
\put(60,102){{\scriptsize $(g,\tilde{g})$}}
\put(110,102){{\scriptsize $(b,-b)$}}
\put(160,102){{\scriptsize $(-a,a)$}}
%
% The Information Set of Player II
%
\qbezier[80](-40,140)(50,113)(140,140)
\qbezier[80](-140,160)(-50,197)(40,160)
%
% The Type of Players
%
\put(-50,270){$u^{\prime}$}
\put(40,270){$u$}
\put(-149,170){$v$}
\put(-49,170){$v$}
\put(51,170){$v$}
\put(151,170){$v$}
%
% The Probability of Strategy
%
\put(-160,230){{\tiny $1-p(u^{\prime})$}}
\put(-72,230){{\tiny $p(u^{\prime})$}}
\put(40,230){{\tiny $1-p(u)$}}
\put(125,230){{\tiny $p(u)$}}
\put(-208,123){{\tiny $1-q_{2}(v)$}}
\put(-127,123){{\tiny $q_{2}(v)$}}
\put(92,123){{\tiny $1-q_{1}(v)$}}
\put(175,123){{\tiny $q_{1}(v)$}}
%
% The Name of the Strategy.
%
\put(-130,215){{\tiny $D$}}
\put(-75,215){{\tiny $A$}}
\put(70,215){{\tiny $D$}}
\put(125,215){{\tiny $A$}}
\put(-70,120){{\tiny $D$}}
\put(-38,120){{\tiny $A$}}
\put(32,120){{\tiny $D$}}
\put(60,120){{\tiny $A$}}
%
\end{picture}}
%\ \\*
\caption{報酬為參數的「不能而示之能」的決策樹。}
\end{center}
\end{figure}

\begin{thm}
\f12
如圖 4.5 順序行動的賽局, 若報酬之間滿足\footnote{
其中, $\xi$ 與 $\eta$ 為 $a$、 $b$、 $c$、 $d$、 $\tilde{d}$、 $g$、 $\tilde{g}$、
$h$ 與 $\tilde{h}$ 的函數。}
\begin{quote}
\f12
\noindent
(i)   $d \geq c$.\\
(ii)  $h \geq g$.\\
(iii) $ b>g>-a $.\\
(iv)  $ -(a+g)+(a+b)\eta+(g-h)\xi >
          (a+b) \int^{\eta}_{\xi} \! q^{\ast}_1(v) \, dv$
\end{quote}
等條件, 則存在 Player I 會採用「不能而示之能」的均衡策略。\footnote{
在圖 4.5 的賽局中, $g$ 與 $c$ 不要求必須相同; 而
($d$,$\tilde{d}$), ($h$,$\tilde{h}$), ($g$,$\tilde{g}$) 都可以是零和的關係,
並不要求他們的絕對值必須不一樣。} \footnote{
這個證明其實是在求解, 他是一個完整求解 $\xi$, $\eta$ 的過程。
其中 $\xi$ 與 $\eta$ 可由以下的步驟求得。}
\end{thm}

\begin{proof}
證明的方法如數字的例子一節, 只要能證明存在一組 $(\xi, \eta)$,
其中 $\xi < \eta$, \ $0 < \xi$, $\eta < 1$, 使 Player I 在 $[0, \xi]$ 與
$[\eta, 1]$ 的區間採取 A 的純粹策略 ($p(u)=1$),
也就是輔理 4.1 為真即可得証。

\medskip
由給定的係數, 我們可以得到以下的數式關係,
\begin{equation*}
S_{1}^{\ast }{\prime (u)=(-d+h)+2aq}_{1}^{\ast }(u)-[(c-d)-(g-h)]q_{2}^{\ast
}(u)
\end{equation*}
因為其中 \( -d+h \), 與 $(c-d)-(g-h)$ 正負未定, $ 2a>0 $ 所以
$S^{\ast}_1{\prime}(u)$ 的正負值不定, 這表示 $S_1(u)$ 的遞增遞減趨勢不確定。 又
%
\begin{eqnarray*}
S_{21}^{\ast }{\prime (v)} &=&{2ap}^{\ast }(v)\geq 0 \\
S_{22}^{\ast }{\prime (v)} &=&{[(\widetilde{g}-}\widetilde{h}{)+(c+}%
\widetilde{{d}}{)][1-p}^{\ast }(v)]\geq 0
\end{eqnarray*}
%
所以 ${S^{\ast}_{21}}{\prime}(v), {S^{\ast}_{22}}{\prime}(v)$ 是非遞減函數。 而
%
\begin{eqnarray*}
S_{21}^{\ast }(0) &=&(-a+b)\int_{0}^{1}p(u)du<0 \\
S_{22}^{\ast }(0) &=&(-c-\widetilde{d})\left( 1-\int_{0}^{1}p(u)du\right)
\geq 0
\end{eqnarray*}
%
上面二式提供刻劃 Player II 在實力相當薄弱時的行為。 首先,
$S^{\ast}_{21}(0) < 0$ 的意思是 Player II 在 Player I 選擇
A 策略的 information set 下, 在完全沒有實力時 ($u=0$) 將採消極的 D 策略。
其次,
$S^{\ast}_{22}(0) \geq 0$ 的意思是 Player II 在 Player I 選擇
D 策略的 information set 中, 在完全沒有實力時就可能採取 A 策略了。
以上五個式子刻劃著 Player I 與 Player II 的行為特性,
他們的性質被歸納在圖 4.4 中。 接著我們證明 $\xi$ 與 $\eta$
存在, 而且找出他們的大小關係。

由 $S_1(\xi)=S_1(\eta)=0$, 我們可以解出:
\begin{equation}
A\xi +B\eta =F \label{4-2}
\end{equation}
其中
\begin{eqnarray*}
A &=&(g-d)+\frac{(a+b)}{(a-b)}[c-2d+h] \\
B &=&(a+b)-\frac{(a+b)}{(a-b)}[(c-d)-(a+b)-(g-h)] \\
F &=&\frac{(a+b)(a+g)}{(a-b)}+(a+g)
\end{eqnarray*}
由 $S_{21}(\xi)=0$ (或$S_{21}(\eta)=0$), 可得
\begin{equation}
-(a-b)\xi +(a-b)\eta =(a-b) \label{4-3}
\end{equation}
由 \ref{4-2} 式與 \ref{4-3} 式可以解得 $(\xi, \eta)$ 如下:
\begin{eqnarray*}
\xi  &=&\frac{(a-b)(F-B)}{(a-b)A-(a+b)B}\geq 0 \\
\eta  &=&1-\frac{(a+b)}{(a-b)}\xi \geq 0
\end{eqnarray*}
且 $\eta > \xi$。\\
將 $(\xi, \eta)$ 帶入 \( {S^{\ast}_1}(0) \), 只要
\begin{equation}
\frac{-(a+g)+(a+b)\eta +(g-h)\xi }{a+b}>\int_{\xi }^{\eta }q_{1}^{\ast }(v)dv \label{4-4}
\end{equation}
則輔理 4.1 即為真。\footnote{
其中 $0<\frac{-(a+g)+(a+b)\eta+(g-h)\xi}{a+b}<1$}
\begin{align*}
 S_{1}^{\ast }(0) &= (b-h) - (-a-b)\cdot \\
    & \int_{\xi }^{\eta }q_{1}^{\ast}(v)dv-(a+b)(1-\eta )
     -(g-h)(1-\xi )>0
\end{align*}
而雙方的均衡策略則如圖 4.4 所示。 如此即得証。
\end{proof}

在證明過程中, \ref{4-4} 式是個行為限制。
\ref{4-4} 式的行為意義是, 當 Player I 選擇 A 策略且
Player II 的實力落在 $(\xi, \eta)$ 中, 則 Player II 在 $(\xi, \eta)$
的區間中採用積極的 A 策略之機率不可大於
$\frac{-(a+g)+(a+b)\eta+(g-h)\xi}{a+b}$,
否則 Player I 不會採取「不能而示之能」的策略。
關於它的精神, 稍後在定理 4.3 將能瞭解。

雖然上述的關係保證了一組「不能而示之能」的充分條件,
但這組關係並無法清楚的將成功的「不能而示之能」策略的關鍵因素刻劃出來。
我們把這個關鍵因素整理於定理 4.2:

\begin{thm}
\f12
有效的「不能而示之能」均衡策略,
必須與充分實力下也會採取積極攻勢的策略相配合才會成功。
\end{thm}

\begin{proof}
假設均衡的「不能而示之能」策略不與實力充分的攻勢策略搭配也能成功,
則當 Player II 看到 Player I 採取積極的攻勢策略時,
將可從 Player I 的行為判定 Player I 具有的實力。
也就是說, 當 Player I 採取積極的攻勢行動時,
Player II 將可推論 Player I 的實力相對處於較弱的情況,
如此 Player I 的攻勢策略將是不可信 (incredible) 的策略。 也就是說,
「不能而示之能」策略若沒有實力充分的攻勢策略相配合將不可行。
推論結果與我們的假設矛盾, 由反證法, 故得定理的陳述為真。
\end{proof}

\bigskip
定理 4.2 刻劃著滿足定理 4.1 的條件下, 見圖 4.4 (d),
Player I 採取的均衡策略形式:
當 Player I 的實力, $u$, 落在 $(0,\xi)$ 與 $(\eta,1)$ 兩個區域時,
Player I 的確都採取積極的 A 策略 ($p(u)=1$)。
定理 4.2 刻劃出必須在適當的策略配合下, 「不能而示之能」策略才能奏效的精神。

以下, 用我們的模型以定理 4.1 的係數關係分析空城計的故事。
在介紹精確的數學含意以前, 在此我們簡單的敘述在三國演義裡,
諸葛亮行使空城計的前因後果。
在三國演義裡, 正當諸葛亮第一次率軍北伐,
由於馬謖守街亭失利, 魏將司馬懿在諸葛亮防備不及的情形下,
統十五萬精兵直撲西城而來。 由於在西城的諸葛亮, 鑑於當時西城既無大將又無大軍,
只有一般文官和少許部隊, 面對司馬懿的來犯於千鈞一髮之際, 諸葛亮採用了空城計:
下令旌旗盡收, 城門大開, 結果司馬懿見此情景, 判斷錯誤, 未曾揮軍攻城,
而率大軍撤退, 諸葛亮因此化解了一場危機。
就我們的故事來說, 空城計是一個不能而示之能的行為。
諸葛亮在兵力很薄弱 (幾乎沒什麼實力下 $u \rightarrow 0$) 時,
採取了積極的 A 策略。
而司馬懿在看到諸葛亮的策略後, 因為不清楚諸葛亮的實力而做出退卻的 D 策略,
此時賽局結束, 得出均衡解來。
圖 4.6 是諸葛亮與司馬懿的策略示意圖, 其中,
我們假設 Player I 是諸葛亮, Player II 是司馬懿。

\begin{figure}[!t]
\footnotesize
\begin{center}
\fboxsep=15pt
\colorbox{slight}{
\psfrag{N}[][][1][0]{the nature}
\psfrag{U}[][][1][0]{$u>v$}
\psfrag{V}[][][1][0]{$v>u$}
\psfrag{A}[][][1][0]{\f11 諸葛亮}
\psfrag{B}[][][1][0]{\f11 司馬懿}
\psfrag{E}[][][1][0]{\f11 棄城而走}
\psfrag{C}[][][1][0]{{\f11 使計}}
\psfrag{K}[][][1][0]{{\f11 退}}
\psfrag{F}[][][1][0]{{\f11 攻}}
\includegraphics[width=0.9\textwidth,height=7cm]{eps-ex.eps}}
% \includegraphics[width=0.9\textwidth,height=0.7\width]{eps-ex.eps}}
\caption{空城計的策略示意圖。}
\end{center}
\end{figure}


圖 4.6 說明諸葛亮與司馬懿攻守的策略含意。
諸葛亮先出招, 司馬懿接招應變。
以下是我們對圖 4.5 報酬的關係與其相關經濟含意的分析。

就定理 4.1 (或圖 4.5) 而言,
$b$ 相當於諸葛亮空城計策略奏效下的報酬, $-a$ 為諸葛亮使計卻被司馬懿識破的報酬,
$g$ 為諸葛亮棄城而走但被司馬懿所擒的報酬,
$h$ 為諸葛亮棄城而走, 司馬懿沒有追來的報酬。 首先討論 (iii) $b>g>-a$ 的關係。
$g$ 大於 $-a$ 的意思是棄城而走之所失比空城計被識破之所失為小,
這是合理的設定, 畢竟棄城而走比起活活就逮(可能)可以留下比較多的實力。
$b$ 大於 $g$ 的理由就更充分了: 使空城計成功的報酬當然比棄城而走卻被擒的報酬大。
而 (ii) $h>g$ 也理所當然, 其意為諸葛亮棄城而走,
司馬懿不追他的報酬大於被捉住的報酬。
至於 (i) $ c \leq d $ 的關係可以解釋成諸葛亮志在退兵,
雖然在退兵時打敗司馬懿企圖捉他的部隊,
但邊打邊退的所得 $c$ (應該) 小於 (或等於) 沒有追兵的所得 $d$ 小。
%%%%而前面數字的例子裡, 我們假設 $c=d$ 與志在退兵的意思可通。

正如前所示, 在此有行動次序的賽局中,
從圖 4.5 可以看出, Player II 的決策明顯的受 Player I 行為的影響。
在賽局論中, 這種影響稱為``戰略作用'' (strategic effect)。
所謂戰略作用是對立的雙方在行動的次序有先有後,
一方可以先採取某些行動影響到另一方的預期與行為,
從而使事態的發展及最後的結局, 朝向對先動一方有利的方向發展。
而能發生戰略作用的策略則稱為戰略行動 (strategic move)。 在我們的分析中,
當 Player I 採取 D 策略時, Player II 選擇 A 策略的機率比較高 (有 $1-\xi$)。
當 Player I 採取 A 策略時, Player II
的行動就比較保守 (至多只有
$1 + \frac{g-h}{a+b}\xi + \frac{-a-g}{a+b}$)。
所以在我們的賽局中, Player I 的 A 策略很顯然的是一個戰略行動,
而且 Player I 採取 A 策略的行動很明顯的對 Player II 產生了戰略作用。

從輔理 4.1 中, 我們可以簡單的體會以下幾個定理。\footnote{
以下幾個定理都是對推論所得的均衡式, 作比較靜態分析。}
這些性質對我們描述空城計的故事有所啟示。

在我們空城記的故事裡, 由於 $e=-a<0$, $f=b>0$。 很顯然的,
由 \ref{4-1} 式的左式來看, 當 $\int^1_0 \! q^{\ast}_1(v) \, dv$ 越小,
\ref{4-1} 式愈可能成立。
其經濟意義用文字歸納成定理 4.3:

%{\bb12 定理 \textbf{4.3}}\ \ \
\begin{thm}
\f12
若 Player II 看到 Player I 選擇 A 策略, 若 Player II
相應採取 A 策略的機率越小時,
(即當實力在 $(\xi,\eta)$ 之間, $S_{21}(v) = 0$
的區域中, Player II 採取 A 策略的機率越小)
 Player I 就愈有可能採行「不能而示之能」的策略。
\end{thm}

\begin{proof}
略。
\end{proof}

\bigskip
相似的性質也出現在 \ref{4-1} 的右半邊。 在我們的空城計故事中,
由於 $h \geq g$, 所以如果
$\int^1_0 \! q^{\ast}_2(v) \, dv$ 越大, 則 \ref{4-1} 式越有可能為真。
其經濟意義用文字歸納成定理 4.4:


\begin{thm}
\f12
若 Player II 看到 Player I 選擇 D 策略,
相應採取 A 策略的機率越大時,
(即當實力在 $(0,\xi)$ 之間, $S_{22}(v) = 0$
的區域中, Player II 採取 A 策略的機率越大)
Player I 愈可能採行「不能而示之能」的策略。
\end{thm}

\begin{proof}
略。
\end{proof}

\bigskip
定理 4.3 和定理 4.4 在行為意義上稍有不同。 定理 4.3 中所描述的 Player I
的行為是積極主動的。 當 Player I 看到他採取積極的 A 策略產生的戰略效果越好,
他越有可能因勢利導的採取「不能而示之能」的 A 策略。
定理 4.4 所刻劃的 Player I 的行為是被動的。
當 Player I 採取消極的 D 策略時, 如果Player II 仍有很大的可能採取 A 策略,
Player I 就越可能被逼著採取「不能而示之能」的策略,
這呼應著孫子「{\k12 圍地則謀, 死地則戰}」 (九變篇) 的意思。

\bigskip
定理 4.5 的經濟意義也值得注意:

\begin{thm}
\f12
當 Player I 越謹慎的採用 A 策略 (即 $\eta$ 越大),
則 Player I 採取「不能而示之能」策略的機率越小 (即 $\xi$ 越小);
反之則越大。
\end{thm}

\begin{proof}
由 \ref{4-3} 式: \(  -(-a-b) \xi + (a-b) \eta = (a-b) \),  因為 \
\( \frac{d \eta}{d \xi} = - \frac{a+b}{a-b} < 0\),\
故得證。
\end{proof}

\bigskip
其經濟意義是:
行事越謹慎的決策者 ($\eta$ 越高), 他採用不能而示之能的機率越低 ($\xi$ 越小)。
反之, 則越高。 這個結果和一般人對風險的認知相符:
風險趨避程度越高的決策者, 將儘量降低不確定性。 反之, 越是風險愛好者,
將越不在意不確定性。
%而通常所謂行事「謹慎」的的決策者, 都屬於風險趨避者。

在三國演義的空城計中, 諸葛亮看到司馬懿率軍遠去後和眾官的一段對話,
深刻的反應著諸葛亮瞭解定理 4.3, 定理 4.4 和定理 4.5 的精神:
\begin{quote}
\k12
\ \ \ \ 孔明見魏兵遠去, 撫掌而笑。 眾官無不駭然! 乃問孔明曰:\
「司馬懿乃魏之名將。
今統十五萬精兵到此, 見了丞相, 便速退去, 何也?」\ \ 孔明曰:\
「此人料我......必不弄險; 見如此模樣, 疑有伏兵, 所以退去! 吾非行險,
蓋因不得已而用之! ...... 」

\ \ \ \ 眾皆驚服! 曰:\ 「丞相玄機, 神鬼莫測。 若某等之見, 必棄城而走矣!」\ \
孔明曰: 「吾兵只有二千五百, 若棄城而走, 必不能遠遁, 得不為司馬懿所擒乎?」
\end{quote}

第一文字描述諸葛亮料中司馬懿攻城的機率很小, 所以他敢採用空城計,
這是定理 4.3 的精神。
而諸葛亮也深刻的瞭解一般人對謹慎者的認識, 捉住司馬懿對他風險態度的想法
(此人料我......必不弄險), 毅然決然的行使空城計, 這說明著諸葛亮明瞭定理 4.5 的精神。
第二段文字描寫諸葛亮瞭解若棄城而走, 將逃不過司馬懿的追兵,
所以也就迫於形勢, 不得已而使出空城計來, 這是定理 4.4 的精神。
空城計的成功, 符合孫子所謂「{\k12 善將者, 形人而無形}」
(虛實篇, 漢簡) 的建議,
張預的註精細的將孫子說法的要領描述出來, 曰:「吾之正, 使敵視之為奇, 吾之奇,
使敵視之為正, 形人者也。 以奇為正, 以正為奇, 變化紛紜, 使敵莫測, 無形者也。」
\ 而一個好的「不能而示之能」的策略, 也就應該將這種「形人而無形」的特徵表現出來。
%三國演義雖然是一部歷史小說, 也把演義裡許多角色描寫的頗為誇張,
%然而很多故事是在看透人類行為的深刻內涵後,
%以小說的形式將其發揮得淋漓盡致,
%令我們對這些具有高度直覺的作者感到無限的讚嘆。
%用「空城計」詮釋孫子「不能而示之能」的概念是頗有啟發性的。

\section[結語]{結語}
在這章中, 我們以一個特殊的賽局模型, 詮釋孫子「不能而示之能」的策略。
在此均衡解中, 結果雖然沒有改變雙方的實力,
但先動的一方可能會利用其先動的訊息優勢, 影響後動的一方,
使其做出有利於先動者的決策。
對於圖 4.4 的均衡策略, 其經濟意義是: 在我們的模型中由於 Player I
大部份的行為均相當保守, 而且 Player II 也知道這點,
所以 Player I 在必要的時候可以勇敢的採取這種欺敵的策略,
矇騙 Player II。 這種賽局若是重複的 (repeated) 一再進行,
就越可能表現詭譎多變, 虛虛實實的特徵。
而在最後一節, 我們引用空城計的故事,
發現空城計的作者直覺的對這些關係有所體會,
而描述諸葛亮瞭解這個性質, 大膽的使出空城計, 欺騙司馬懿,
因而化解危機, 化險為夷, 與孫子所謂「{\k12 形兵之極,
至於無形。}」的精神若合符節。

值得一提的是, 在我們的分析下,
這個不完全訊息的賽局模型找到的是「不能而示之能」的納許均衡解。
而這個均衡解也是純粹策略的均衡解。
稍需注意的是,
我們求得的均衡解不是序貫均衡 (sequential equilibrium),
而是納許均衡, 這在解不完全訊息的賽局是一個很特殊的情形,
也因此, 我們不需討論決策者對對手行為的信仰 (belief) 問題,
雖然這是個重要的問題。 正如第三章我們提到的,
大部份虛虛實實策略都和訊息有很大的相關,
在往後的虛實行為分析當可朝序貫均衡的方向發展:
諸如以區分行動者特性 (type) 的 Signaling 賽局,
重視行為者信譽 (reputation) 的重複賽局 (repeated game) 等,
都是可以研究的方向。
