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\chkodd

\chapter[孫子兵法的賽局架構]{孫子兵法的賽局架構}

\hspace{.4\textwidth}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\k12
「天下熙熙,皆為利來;\\
天下壤壤, 皆為利往。」\\
\rule{.1\textwidth}{0pt}\rule{.1\textwidth}{0.4pt}
史記貨殖列傳
\end{minipage}

\bigskip\bigskip
\noindent
孫子兵法和經濟學到底有什麼關係?
前者是兩千五百年前的中國人對戰爭軍事的著作,
而後者是自一七七六年, Adam Smith 出版原富論以後才開始蓬勃發展的社會科學。
它們的關連不但非經濟研究者會感到不明白,
即使經濟研究者也可能覺得疑惑。
在本章中, 我們將解開這個疑惑。 不但說明為什麼可以採用經濟學研究孫子兵法,
進一步並以現代經濟學處理交互行為問題的工具 --- 賽局論 (game theory),
研究兩千五百年前中國偉大的軍事戰略思想家, 孫武, 所擁有處理衝突問題的工具。
在以下的討論, 我們將試圖讓讀者瞭解孫子這本軍事著作與經濟學的關連,
並以現代社會科學處理交互行為的方法, 萃取孫子一書的微言大義,
嘗試著為以後的孫子研究者, 提供新的研究基石。

\section[緒論]{緒論}
由於我們視孫子兵法為研究衝突策略的學術文獻,
所以我們嘗試著以賽局論為分析工具研究孫子兵法。
賽局論是現代社會科學研究者研究人類交互行為的重要工具,
它以與賽者對賽局的某一共識為基礎, 研究在該共識下與賽者的策略選擇行為。
其中與賽者的行為必須遵循某一既定的規則,
而在該規則之下, 對應各個行動, 與賽者有其特定的報酬。
依 Kreps (1990) 的說法, 賽局模型由以下三個部份所組成:
\begin{enumerate}\itemsep=-3pt
\item 與賽者。
\item 與賽者擁有的策略。
\item 各策略相應的報酬。
\end{enumerate}
而經濟學家在刻劃問題時, 就是將所研究的問題分成這三大部份,
一一檢查與賽者的特性、 與賽者可選擇的策略特徵、
以及對應的報酬關係與結構等。 一般來說,
當研究者充分的瞭解所面對的問題的這三個面相時,
就已經具有必須的工具, 可以刻劃和處理衝突的問題。

以象棋為例, 下象棋前必須清楚下棋的人數、 瞭解棋局的規則、
還有明瞭決定棋局輸贏的勝負原則等。 而這三個問題正好與 Kreps (1990)
提出用來刻劃衝突問題的三個賽局架構部份相呼應。 以「全盤」的象棋為例,
所謂適當的下棋人數是兩人, 只有一人或多於兩人均無法成局,
所以必須對象棋與賽者的限制有所知曉;
而棋局的規則正對棋士可以採取的策略作了限制;
另外, 對成敗的判定, 更直接關係著勝敗的報酬。
這些都對面對衝突問題的決策者, 能夠以及應該採取的策略有決定性的影響。

在以上提到的三個瞭解衝突問題的主要性質外,
還有一些是賽局研究者對參與賽局的決策者隱含的假設。
首先, 關於某些事實 (fact), 必須假設參與賽局的各方對這些事實都很清楚,
賽局論將這些概念稱之為「共識」 (common knowledge)。
例如賽局的規則 --- 也就是每個決策者必須知道其他決策者, 能夠以及不能採取的策略。
有時候對與賽者的行為動機, 也必須假設成雙方均瞭解的部份:
例如對雙方均具備理性的態度等。 這些也對賽局的形式與結果, 有著決定性的影響。

再以象棋為例。 在下棋時, 我們總是假設下棋的雙方均以贏棋為目標,
所以任一棋士不會無緣無故把他的棋子送給對手吃掉 (若是疏忽則不算),
這是關於理性的假設。
而我們也總是假設對手對棋局的規則有清楚的認識, 車就是走直的,
馬走日字形, 象走田字形, 馬不能向被拐馬腳的方向走, 王不能見王等等,
這是對規則的假設。

雖然對棋局有上面這些完整的認識, 但仍不足以提供我們對棋局可能結果的完整猜測,
也不足以讓一個想贏棋的棋士下好一盤棋。
即使完全瞭解以上提到賽局刻劃問題的三個架構,
也有可能遭遇對策略的選擇無所適從的窘境。 如以下這個例子。
假設我們 (為下紅棋的一方) 有抽車與吃馬兩種選擇,
在某個特殊的情形下, 我們可能遇到下面這個麻煩。
若我們想抽對手的車, 當我們想擺出「將軍抽車」的棋局時,
我們會想, 有經驗的對手很有可能猜出我們的意圖, 所以我們覺得還是吃馬好了;
但我們計畫擺出吃馬的棋局時, 我們又覺得對手也很可能在事前猜透我們的行為,
所以還是改回抽車好了; 但若抽車, 則又會發生和之前一樣的顧慮,
所以吃馬吧...... 如此循環不已, 將無法判斷到底該下什麼棋。
同樣的矛盾和困難在其他衝突的問題中也可能遭遇。
在這章中, 我們使用賽局論分析問題的架構,
看看孫子在當時提供了什麼化解 (戰爭) 衝突矛盾以及「循環推理」問題的建議,
以及提供決策者什麼獲勝的方法, 試圖瞭解孫子有哪些賽局論處理衝突問題的看法;
或孫子哪些建議與現在賽局論處理衝突問題的方式相容。

底下, 我們將依照上面提到的賽局論分析衝突問題的架構,
對孫子兵法的理性基礎、 共識 (common knowledege)、
各軍的策略問題、誘因、優勢策略、極大化最小值略策略、 均衡、
訊息、虛實策略的意義等, 詳加討論。 看看在兩千五百年前,
孫子是否具有同樣或是類似的認知? 本章各節, 就是我們對這些問題的闡釋和說明。

\section[孫子兵法的理性基礎]{孫子兵法的理性基礎}
「經濟人」是經濟學家研究世界, 解決問題的方法和工具。
在方法論上, 所謂「經濟人」典範
(Homo economicus paradigm) 指的是那些「會評估 (evaluative)、
會發明 (inventive)、會追求效用極大的 (maximizing)」個人簡化模型,
所以理性 (rationality), 是經濟學家研究人的行為與現象時, 伴隨而至的假設。
所謂理性, 指的是人在做選擇時, 會從選單中挑選最好 (或是比較好) 的選項,
追求最大 (或是比較大) 的滿足或成功。 在經濟學家研究人的選擇模型中,
基本的一階條件 (fisrt-order condition) 和比較靜態 (comparative static)
等概念, 都可以看到理性的影子。

從五十年前 John von Neumann 與 Oskar Morgenstern 出版
{\it The Theory of Games and Economic Behavior} 一書開始,
賽局論就成為經濟學家研究人類交互行為的工具之一,
特別是在衝突策略的選擇問題上。 在賽局論的範疇中,
這指的是非合作賽局 (noncooperative game) 的部份。
而賽局論對與賽者 (player) 行為的設定, 根本就建基於理性之上:
從優勢策略 (dominant strategy), 混合策略 (mixed strategy) 到均衡 (equilibrium)
等概念, 都假設與賽的決策者, 會從可選策略中 (feasible strategies),
選擇最好的 (optimal) 策略, 以追求最大的收益 (revenue) 或報酬 (payoff)。
這種賽局論與經濟學對理性人立論的一致性,
使經濟學家樂於採用賽局論的分析方法, 來預測利害衝突的決策者最後的行為結果。
從近一二十年來, 賽局論大量出現在經濟學的學術文獻與期刊上,
可以看出經濟學家對賽局論分析理性人衝突行為的重視。

孫子一書的作者孫武, 出生在一個戰亂頻繁,
社會國家發生巨變的時代。 周王室衰敗、 諸侯不聽天子號令、 大國併吞小國、
各國相互攻伐, 弱肉強食的行為在當時一再發生。
所以外交、 戰爭是當時國際間維護以及獲取利益的必要手段。
孫武出身貴族世家, 祖父曾為將軍, 伐莒而有功。
庶祖田穰苴亦為名將, 史記對他有這樣的記載:
「晉師聞之, 為罷去; 燕師聞之, 渡水而解」
(史記司馬穰苴列傳)。 孫武就因其自身家學淵源, 對戰爭有其特殊的認識。
而孫子一書, 即為孫武經伍子胥引見吳王, 對吳王講論的用兵理論。
相當瞭解戰爭在他的時代的重要地位。
孫子一書的第一段話: 就深刻的反應著孫子瞭解用兵在當時環境中的重要性:
「{\k12 兵者, 國之大事, 死生之地, 存亡之道, 不可不察也}。」
(計篇),
而史記孫子吳起列傳更記載孫子幫助吳王: 西破強楚, 北威齊、 晉, 顯名諸侯,
孫子與有力焉的事蹟, 也間接說明孫子在當時對衝突問題高人一等的認識和處理能力。

由於身處這種相互征伐, 弱肉強食的時代,
孫子這本作為研究戰爭策略與性質的軍事著作,
在兩千五百年前就已經展現了理性的思考態度。
判斷行為是否理性最簡單的方式就是看看決策者是否重視報酬 (payoff)。
從他一再提醒讀者戰爭是獲得報酬 (payoff) 的手段, 攫取利益是戰爭追求的目的,
而戰爭的施行與否, 端視其是否符合利益:
\begin{quote}
\k12
非利不動, 非得不用, 非危不戰。 主不可怒而興師,
將不可慍而致戰。 合於利而動, 不合於利而止。 ({\m12 火攻篇})
\end{quote}
可以顯示出, 在兩千五百年前, 孫子已經瞭解「理性」的思考方法。
以賽局論的角度來看, 這相當於提醒讀者, 行動當以報酬 (payoff) 為依歸,
應當重視行為與報酬之間對應的關係。 其次,
孫子在該書開宗明義的第一段文字提醒讀者戰爭的重要性,
也間接的反應著孫子重視報酬的看法:
\begin{quote}
\k12
兵者, 國之大事, 死生之地, 存亡之道,
不可不察也。 ({\m12 計篇})
\end{quote}
另外, 他也提醒讀者:
\begin{quote}
\k12
不盡知用兵之害者, 不能盡知用兵之利也。 ({\m12 作戰篇})
\end{quote}
也說明孫子清楚必須在理解報酬的特性後, 再行事才妥當的看法。

再從以下的這些文字, 也可以看到孫子理性的態度。
在孫子一書中, 孫子說明了各種行為與其得失的關係, 並比較勝敗優劣的差別。
例如孫子在謀攻篇對勝利的果實提出他個人認為的大小比較,
這些文字, 說明孫子明瞭應重視報酬大小的排列關係:
\begin{quote}
\k12
凡用兵之法, 全國為上, 破國次之; 全軍為上, 破軍次之; 全旅為上, 破旅次之;
全卒為上, 破卒次之; 全伍為上, 破伍次之。 是故百戰百勝, 非善之善者也;
不戰而屈人之兵, 善之善者也。
\end{quote}
此外, 他也比較獲取勝利手段的軒輊:
\begin{quote}
\k12
上兵伐謀, 其次伐交, 其次伐兵, 其下攻城。 攻城之法為不得已。
\end{quote}
在謀攻篇的後半段, 他又提到「善用兵者」的「謀攻之法」是:
\begin{quote}
\k12
是故善用兵者, 屈人之兵而非戰也, 拔人之城而非攻也, 毀人之國而非久也,
必以全爭於天下。 故兵不頓而利可全, 此謀攻之法也。
\end{quote}
而從這三段文字裡, 我們發現孫子瞭解理性思考的重要方法 -----
「成本效益」的觀念:
第一段文字比較了勝利果實的大小,
第二段文字比較了達成勝利手段的優劣,
第三段文字的「{\k12 兵不頓而利可全}」,
亦即用兵的最高境界: 「{\k12 不戰而屈人之兵}」,
反應孫子瞭解使用「最小成本」追求「最大收益」的概念。
這些建議, 都使我們清晰的看到理性在孫子思想中的地位。

在賽局中, 當理性的決策者追求期望報酬的極大時,
決策者必須對所有行為可能的結果 (outcome) 有所預期,
而該預期被經濟學家稱之為信仰 (belief)。 於是, 決策者信仰的來源,
在研究衝突的問題時, 是一個重要的課題。 新古典經濟學家們
(neoclassical economists) 由於假設信仰完全源於決策者本身主觀的評估 (subjective
assessment), 所以無法在事前猜測決策者主觀的信仰,
只能在事後由決策者的選擇, 間接推論決策者對結果的預期模型。
雖然這麼自由的設定, 可以對信仰不做任何限制,
但如此卻造成對衝突問題的預測, 變得空無一物。
因為這種自由心證的信仰, 使決策者對結果的預期如天馬行空般的無拘無束,
造成無法預測決策者行為的窘境。

為了突破這個困境, 賽局研究者提出理性的共識 (common knowledge of
rationality) 概念, 限制決策者對結果預期的信仰。
所謂「理性的共識」指的是賽局的與賽者均被假設成「理性的」決策者,
其決策的依據遵行理性的原則, 行為的結果合乎理性的判斷。
也就是說, 理性是行為人滿足慾望, 追求成功的工具。
有了理性的共識對毫無羈絆的信仰提供限制 (constraint),
使決策者的行為和對其他人行為的預期必須遵循理性的原則,
因而增加了我們對賽局中所有決策者的行為,
以及賽局結果預測的可能性。 但是理性的共識仍不足以提供我們對賽局結果的預測。
事實上, 對不同交互行為的處理的方法, 需要不同的共識概念。
就賽局論而言,
從優勢策略 (dominant strategy), 混合策略 (mixed strategy),
到各式各樣均衡 (equilibrium) 概念, 它們突破循環推論困局的方法,
其背後都有不同的共識假設。
所以, 理解隱含在某特定交互行為處理方法背後的共識概念,
將有助於我們正確認識該特定方法處理交互行為的性質。

基於上述對共識的說明, 關於孫子具備的共識想法, 就是我們最想瞭解的主題之一。
因為瞭解孫子對共識概念的認識, 將有助於明白孫子對交互行為的處理方法。
那麼, 到底孫子對共識有多少認知呢?

首先, 我們發現, 孫子注意到理性 (rationality) 的概念,
他對與賽者{\bb12 都是}理性的決策者有所體認。
在行軍篇與地形篇, 我們發現孫子認為對手也是理性的決策者,
一如他一再以理性的態度提醒讀者重視用兵一般。
例如在行軍篇, 孫子提到:
\begin{quote}
\k12
敵近而靜者, 恃其險也; 遠而挑戰者, 欲人之進也;
其所居易者, 利也。
\end{quote}
「{\k12 其所居易者, 利也}」的意思是, 敵人捨險而選平易之地駐軍,
一定因為某些有利的因素。 這段文字說明孫子假設對手會選擇對自己有利的舉措,
將對手假設成理性的想法清晰可見。 另外, 在地形篇一開始,
孫子提到當遇到「支」形的地形時有以下的建議:
\begin{quote}
\k12
我出而不利, 彼出而不利, 曰支; 支形者, 敵雖利我, 我無出也。
\end{quote}
而, 遇「險形」的地形時有以下的建議:
\begin{quote}
\k12
險形者, 我先居之, 必居高陽以待敵; 若敵先居之, 引而去之, 勿從也。
\end{quote}
從這兩段文字, 看到孫子瞭解敵人可能採取「誘敵」的策略, 致使我方處於不利的地位。
也間接說明孫子對對手理性的認知。

其次, 孫子也注意到處理交互行為的問題時,
可能遭遇的循環推理 (circular reasoning) 困局。
在虛實篇中孫子提到防備不是獲勝的好方法, 因為:
\begin{quote}
\k12
備前則後寡, 備後則前寡, 備左則右寡, 備右則左寡......
\end{quote}
從這裡的「備前備後備左備右」我們可以看到孫子對敵我循環推理在均衡問題中的瞭解。

從以上關於孫子對敵對雙方的理性看法, 以及他發現必須處理循環推理困局的概念,
對於孫子思想的共識概念, 雖然並不明確, 但能找出一點蛛絲馬跡,
至少他已經假設對手雙方均為理性。
至於孫子又是如何化解循環推理的困境呢?
孫子是否一如賽局論以優勢策略、
混和策略以及各式各樣的均衡概念來化解共識和循環推理的困境?
或是有其它的建議? 則是本章以下要討論的主題。

\section[誘因]{誘因}
在說明孫子提出哪些策略建議以供處理衝突問題以前,
先討論孫子提出哪些整合軍隊內部, 充分發揮戰力的建議,
再考慮孫子對策略空間 (strategy space) 中,
相關的優勢策略, 極大化最小值 (maxmin) 策略等致勝的建議,
才能讓這些相關處理衝突問題的方法充分發揮效能。
也就是說, 關於將領如何領導士卒,
成功的領導統御關係又應如何, 是我們在考慮處理交互行為問題的策略之外,
必須考慮的因素。
因為成功的戰術戰略固然重要, 然而軍隊畢竟是由一個個活生生的「個人」所組成,
這些「個人」若沒有充分的合作, 再好的策略未必能達成給予的任務。
所以如何使優劣得所, 行陣和睦,
是任何想要功成名就而馳騁沙場的將領必須具備的條件。
在經濟學中, 這個主題和「誘因」 (incentive) 有很大的關係。
誘因是經濟學研究的重要主題之一,
在任何制度中, 誘因機制對資源運用的效率影響深鉅。 在文獻中,
豐富的``業主 -- 代理人'' (principal-agent) 討論是經濟學對誘因問題主要的研究成果,
而誘因在賽局論中同樣是重要的主題。
在孫子一書中, 將領與士卒的關係是孫子認為影響勝敗的重要因素。
孫子認為將領與軍士應該同心協力, 為共同的目標而努力,
而將領至少應該做到使士卒樂意赴沙場殺敵,
也就是孫子已瞭解誘因的重要性。
這可以從「動機」以及「行為和訊息」兩個層面來討論。
如作戰篇:
\begin{quote}
\k12
故殺敵者, 怒也; 取敵之利者, 貨也。 故車戰得車十乘已上, 賞其先得者......
\end{quote}
而賞罰分明則是必要條件, 畢竟, \ 陟罰臧否, 不宜異同。 在行軍篇中:
\begin{quote}
\k12
卒未親附而罰之, 則不服, 不服則難用; 卒已親附而罰不行, 則不可用。
\end{quote}
更進一步, 若能做到愛護士卒,
則士卒自然願意與將領同生共死:
\begin{quote}
\k12
視卒如嬰兒, 則可與之赴深谿;
視卒如愛子, 故可與之俱死。 ({\m12 地形篇})
\end{quote}
但孫子提醒讀者, 愛之卻不能溺愛:
\begin{quote}
\k12
厚而不能使, 愛而不能令, 亂而不能治, 譬如驕子, 不可用也。 ({\m12 地形篇})
\end{quote}
以上這些都是孫子提供將領對士卒在動機上的建議。

賞罰分明, 誘因充分, 將領得到士卒的愛戴後,
孫子認為,
一個好的將領最好應做到「{\k12 能愚士卒之耳目, 使之無知}」,
以減低軍士對命令的獨立判斷, 使其在行為訊息上只有服從一途的建議:
\begin{quote}
\k12
將軍之事: 靜以幽, 正以治。 能愚士卒之耳目, 使之無知。
易其事, 革其謀, 使人無識; 易其居, 迂其途, 使人不得慮 ......
趨而往, 趨而來, 莫知所之。 ({\m12 九地篇})
\end{quote}

而最後能做到如謀攻篇裡所說的
「{\k12 上下同欲}」, 軍隊的效力便達極致。


\section[各軍的策略問題]{各軍的策略問題}
在賽局論中, 對策略空間 (strategy space)
的瞭解影響著賽局的結果以及與賽者的報酬。
充分瞭解哪些策略可行 (feasible), 哪些策略不可行 (infeasible),
以及各個策略相對應的報酬, 是一個理性決策者必須具備的條件。

在孫子一書中, 我們發現孫子充分瞭解策略的概念,
處處可以看到孫子對各種問題的策略和建議:
從戰爭的目的 (謀攻篇、火攻篇)、 戰爭物資的管理 (作戰篇),
戰術戰略的運用 (計篇、形篇、勢篇、虛實篇、軍爭篇),
戰場應變的方法 (九變篇、行軍篇、地形篇、九地篇、火攻篇),
到領導統御的內涵 (作戰篇、地形篇、九地篇) 等,
都可以看到孫子試圖瞭解它們與戰爭的關係, 它們和戰爭的交互影響,
以及孫子對它們的建議和處理方法。
孫子以為, 唯有充分掌握這些關係,
才能完整的做好「{\k12 擇人任勢}」的工作,
達到「{\k12 如轉圓石於千仞之山}」的致勝之勢。

此外, 孫子對勝敗問題的討論,
也反應著孫子對策略問題的重視。 孫子認為在用兵之前必須確認自己必能得勝:
\begin{quote}
\k12
善戰者, 立於不敗之地,
而不失敵之敗也。 是故勝兵先勝而後求戰, 敗兵先戰而後求勝。 ({\m12 形篇})
\end{quote}
假若真能在事前確定先立於不敗之地,
確認己方必能得勝, 也就必須確切瞭解策略的性質與作用。

對策略空間 (strategy space) 瞭解的程度反應著決策者對環境認知的深淺,
孫子對策略的重視從他不斷的提醒讀者注意戰爭的結果可以體會。
在本節, 我們從各個軍隊單獨的策略問題出發, 仔細研究孫子對求勝策略的建議,
在以後各節, 我們將討論孫子對兩軍相爭下衝突策略的想法,
比較他處理衝突問題的看法和現代賽局論處理衝突問題的異同。

在數學上,
我們用函數刻劃自變數與應變數的關係。
人的行為, 與相應的結果, 在概念上, 也可以透過數學嚴謹的函數概念加以詮釋。
方法是把人的策略或行動對應至定義域, 把行動相應所得的報酬結果對應至值域,
這樣就可以使用函數的方法描述行為其相應結果的關係。
在賽局論中, 這種函數的關係正可以詮釋所採行的策略與相應所得結果的關係。
也就是說, 對策略空間的瞭解, 反應著對函數定義域 (domain) 的瞭解;
對函數值域的認識, 反應著對行為結果 (outcome) 的認識。
透過函數的關係, 我們可以既簡潔又嚴謹的將行為 (action)
與其對應的報酬 (payoff) 清晰的加以表達。
如果行為與結果之間因某些外來的干擾而沒有一定的關係,
我們通常將這種現象以風險 (risk) 或不確定性 (uncertainty) 描述之,
此時, 我們通常將自變數與應變數之間的函數關係加上期望值 (expected value),
有了這種操作, 函數也就具有刻劃不確定情況下行為與報酬的能力了。
孫子一書中, 對行為以及相應的報酬關係的詮釋很豐富, 而且討論散見於各篇之中。
孫子在這些文字中, 再三要求讀者注意行為與報酬之間的關係,
用數學的語言就是注意「函數的型態」。
%如此, 才能做到「{\k12 動而不迷, 舉而不窮。}」,
如果真能確切瞭解這些關係,
他認為就能做到「{\k12 知天知地, 勝乃不窮}」
(地形篇) 的境界了。
底下我們以上面提到的函數方法舉出孫子對各個軍隊單獨決策問題的幾個例子。

例如, 孫子要求良君賢將在用兵之前要注意各項因素,
這些因素對戰爭的結果可能有決定性的影響。
在孫子的第一篇 --- 計篇中, 孫子提到良君賢將在研究戰爭的大事時,
應該考慮以下幾個問題:
\begin{quote}
\k12
故經之以五事校之以計而索其情: 一曰道, 二曰天, 三曰地, 四曰將, 五曰法。
道者, 令民與上同意也, 故可以與之死, 可以與之生, 而不畏危也。
天者, 陰陽、寒暑、時制也。 地者, 遠近、險易、廣狹、死生也。
將者, 智、信、仁、勇、嚴也。 法者, 曲制、官道、主用也。
凡此五者, 將莫不聞, 知之者勝, 不知者不勝。
\end{quote}
其中「道」、「天」、「地」、「將」、「法」影響勝敗,
是決策者在用兵作戰之前必須審慎觀察和判斷的。
接著孫子又提醒讀者, 在用兵前必須確認幾個問題:
\begin{quote}
\k12
主孰有道? 將孰有能? 天地孰得? 法令孰行? 兵眾孰強?
士卒孰練? 賞罰孰明? 吾以此知勝負矣。 ({\m12 計篇})
\end{quote}
這些都是對策略空間的檢查, 判斷用兵的依據。

第二個例子是對用兵時機 (timing) 的建議,
孫子對策略行使的時機可以在火攻篇找到一例,
孫子提醒讀者注意火攻的時機:
\begin{quote}
\k12
行火必有因, 煙火必素具, 發火有時, 起火有日。 時者, 天之燥也;
日者, 月在箕、 壁、 翼、 軫也。 凡此四宿者, 風起之日也。
\end{quote}

第三個例子在行軍篇中。
孫子對特定地形下軍隊處置的策略 (strategy of location),
要讀者格外小心:
\begin{quote}
\k12
凡地有絕澗、天井、天牢、天羅、天陷、天隙, 必亟去之, 勿近也。
吾遠之, 敵近之; 吾迎之, 敵背之。
\end{quote}

用賽局論的語言, 孫子對戰場策略的提醒反應著他對策略空間
(strategy space) 的重視,
孫子對軍隊各自的決策問題毫不輕忽, 因為勝利必須倚靠它們。
有了這些策略必備的檢查和認識, 如何運用已有的條件,
求取最好的報酬, 就是以下各節所要考慮的問題。
而這些問題也就是處理交互行為最重要關鍵。

\section[優勢策略]{優勢策略}
在前面共識一節我們提到,
理性的共識使得利害衝突的決策者對對手的行為有了預測的依據。 然而,
在理性的假設下尋找``均衡解''時, 「循環推論」 (circular reasoning)
的困局使我們對賽局結果的猜測力有未逮。
在第一節裡舉出一個下象棋時, 可能面臨吃馬或抽車的兩難選擇:
其中「想到對手可能猜出我方的動機, 而可能採取反制策略」所造成不知如何是好的情況,
就是一個「循環推理」的例子。
於是經濟學家提出各種方法來突破循環推論的困境,
例如優勢策略 (dominant strategy)、 極大化最小值 (maxmin) 策略、
混合策略 (mixed strategy)、
以及各式各樣的均衡概念, 以尋找人的交互行為與衝突等問題最可能的結果。

在經濟學家面對和處理衝突策略的工具箱中,
各式各樣的均衡概念是經濟學家預測問題或解決問題非常重要的工具。
這其中 Nash 均衡 (Nash Equilibrium) 是許多均衡中最有名的概念。
Nash 均衡的基本精神是,
{\bb12 在某一策略組合下, 若其他人選擇的策略不變,
某一決策者的策略若離開該策略組合之策略, 則其在新策略下所得之報酬,
將少於選擇原先組合所得的之報酬。}
有這種性質的策略組合被稱為 Nash 均衡 (策略)。 所以在均衡策略下,
與賽者沒有意願個別脫離該策略選擇,
因為一旦單獨偏離, 所得之新報酬將低於原均衡策略所得之報酬。
在有純粹均衡策略 (pure strategy equilibrium) 的賽局中,
當發現與賽者的策略組合為某一組特定的均衡策略時,
則該組策略組合將被列為一組可能的行為結果。
相對的, 當與賽者選擇的策略組合並非均衡的策略組合時,
則該組策略組合將不會被當成一組賽局可能結果的預測。

至於找出均衡的方法很多, 前面提到的優勢策略、
極大化最小值策略以及混合策略等, 都是輔助尋找 Nash 均衡解的重要方法,
這其中優勢策略 (dominant strategy) 是判斷行為結果最清楚的概念。
所謂{\bb12 優勢策略指的是某一策略選項,
明顯的優於策略選單裡的其它選擇,
而該策略的優勢地位不會因為其他對手的任何行動而有所動搖。}
也就是說, 從優勢策略我們可以很明確的認定與賽者的選擇,
而且該策略不需考慮對手對我方策略的反應。
在一般解賽局的問題時, 若能從優勢策略找到``均衡解'',
則該均衡解就一定是 Nash 均衡。 但當所面對的賽局沒有優勢策略,
或無法從優勢策略找到``均衡解''時,
就可能需要引進混合策略 (mixed strategy) 的均衡概念,
以輔助我們預測交互行為問題的可能結果,
而包括混合策略的 Nash 均衡概念則一定有均衡解。
因此我們可以瞭解,
優勢策略是解決交互行為、 衝突問題以及「循環推理」困局一個可能的充分條件,
然而卻非必要條件。

我們發現, 孫子對衝突問題建議的解決方法以優勢策略為主軸,
Nash 均衡似乎不是他解決問題的主要考慮。 在本節, 我們整理孫子的優勢策略建議;
在稍後均衡一節, 我們將會仔細的討論孫子對均衡的看法。

在孫子全書中, 我們發現優勢策略的概念無所不在。
我們認為, 優勢策略是孫子解決衝突策略問題的主要方法。
正如``各軍的策略問題''一節提到孫子對策略的認識: 從戰爭的目的, 戰爭物資的管理,
戰術戰略的運用, 戰場的臨機應變到領導統御的方法, 孫子都提出他的建議。
以下我們以孫子對特定主題的處置方式, 以及現代賽局論對行為的刻劃為分類的標準,
大致依孫子一書討論的主題順序, 將孫子全書的優勢策略作以下簡單的分類。
在不知 Nash 均衡的概念, 在某些情形下, 的確可以採用優勢策略的建議,
而不需考慮對手行為下, 化解交互行為 (interaction) 面臨的某些問題。
\begin{enumerate}\itemsep=-3pt
  \item 「勝敗優劣」的建議。 不戰而屈人之兵是孫子認為勝利的最上乘。
    在謀攻篇裡孫子提到:
    \begin{quote}
     \k12
     凡用兵之法, 全國為上, 破國次之; 全軍為上, 破軍次之; 全旅為上,
     破旅次之; 全卒為上, 破卒次之; 全伍為上, 破伍次之。 是故百戰百勝, 非善之善者也;
     不戰而屈人之兵, 善之善者也。
    \end{quote}
    全國優於破國, 全軍優於破軍, 全旅優於破旅等等。 此外, 對獲取勝利的手段, 孫子認為:
    \begin{quote}
     \k12
     上兵伐謀, 其次伐交, 其次伐兵, 其下攻城。 攻城之法, 為不得已。
    \end{quote}
    伐謀優於伐交, 伐交優於伐兵, 伐兵優於攻城。
  \item 「致勝策略」的建議。 孫子對這方面的建議很多,
    可以用「出奇制勝」做簡單的歸納。
    \begin{quote}
     \k12
     形兵之極, 至於無形。 無形則深間不能窺, 智者不能謀。 因形而錯勝於眾, 眾不能知。
    \end{quote}
    此外, 行動和策略必須保持主動是孫子認為致勝的必要條件:
    \begin{quote}
     \k12
     善戰者, 致人而不致於人。
    \end{quote}
  \item 「領導統御」的建議。 如前一節所述, 孫子一書中對領導統御多所論及。
    這裡舉一個前面誘因一節沒有提到的例子。 在軍爭篇裡,
    孫子認為整齊畫一是素質精良的部隊必須具備的條件:
    \begin{quote}
     \k12
     夫金鼓旌旗者, 所以一人之耳目也; 人既專一, 則勇者不得獨進,
     怯者不得獨退, 此用眾之法也。 故夜戰多火鼓, 晝戰多旌旗,
     所以變人之耳目也。
    \end{quote}
  \item 「風險態度」的建議。 孫子提到良君賢將對用兵之事的風險態度,
    應該傾向趨避保守。 在九變篇裡, 孫子提到:
    \begin{quote}
     \k12
     用兵之法, 無恃其不來, 恃吾有以待也。 無恃敵不攻, 恃吾有所不可攻也。
    \end{quote}
  \item 「行動順序策略」的建議。
    在研究賽局的問題時, 行動的先後順序對賽局結果的影響關係重大。
    在某些賽局中, 先動的一方比後動的另一方相對有利,
    在這種賽局中, 我們稱先動者具有先發制人的優勢 (first-mover advantage)。
    當然不是所有的賽局先動的一方都有先發制人的優勢,
    在某些賽局中先動的一方反而可能相對不利。
    孫子明瞭這兩種分別,
    在孫子一書的很多地方孫子認為先發制人者有其優勢,
    而在另幾處孫子也提到先動會遭致不利的結果。 以下各舉一例:
    例如在地形篇裡孫子提到先發制人優勢有這麼一個例子:
    \begin{quote}
     \k12
     地形有通者, 有掛者, 有支者, 有隘者, 有險者, 有遠者。 我可以往,
     彼可以來, 曰通; 通形者, 先居高陽, 利糧道, 以戰則利 ......
    \end{quote}
    孫子又提出先動的一方反而不利的情況說明:
    \begin{quote}
     \k12
      ...... 我出而不利, 彼出而不利, 曰支; 支形者, 敵雖利我,
      我無出也, 引而去之,
      令敵半出而擊之, 利。
    \end{quote}
  \item 「戰場位置」的建議。 在孫子一書的軍爭篇、 九地篇、
    行軍篇、 地形篇等, 到處都有孫子對在特定地形環境下, 佈置軍隊的建議。
    如行軍篇中孫子提到:
    \begin{quote}
     \k12
     若交軍於斥澤之中, 必依水草而背眾樹, 此處斥澤之軍也。 平陸易處,
     而右背高, 前死後生, 此處平陸之軍也。
    \end{quote}
  \item 「臨場反應」的建議。 孫子對戰場上臨場反應的建議, 分散於各章中。
    例如在軍爭篇裡, 孫子對戰場特定情況的反應有這樣的建議:
    \begin{quote}
    {\k12 故用兵之法, 高陵勿向, 背丘勿逆, 佯北勿從, 銳卒勿攻, 餌兵勿食,
          歸師勿遏, 圍師必闕, 窮寇勿迫, 此用兵之法也。}
    \end{quote}
    在九地篇也有這樣的建議:
    \begin{quote}
     \k12
     凡為客之道: 深則專, 淺則散。 去國越境而師者, 絕地也; 四達者, 衢地也;
     入深者, 重地也; 入淺者, 輕地也; 背固前隘者, 圍地也; 無所往者,
     死地也。 是故散地, 吾將一其志; 輕地, 吾將使之屬; 爭地, 吾將趨其後;
     交地, 吾將謹其守; 衢地, 吾將固其結; 重地, 吾將繼其食; 圮\ \ 地,
     吾將進其途; 圍地, 吾將塞其闕; 死地, 吾將示之以不活。 故兵之情,
     圍則御, 不得已則鬥, 過則從。
    \end{quote}
  \item 「將領態度」的建議。 孫子認為良君賢將必須臨機應變, 切莫拘於形式, 在九變篇中孫子提醒將領:
    \begin{quote}
     \k12
     故將有五危, 必死, 可殺也; 必生, 可虜也; 忿速, 可侮也; 廉潔, 可辱也;
     愛民, 可煩也。 凡此五者, 將之過也, 用兵之災也。 覆軍殺將, 必以五危,
     不可不察也。
    \end{quote}
  \item 「行動時機」的建議。 用兵當然必須注意時機。 在火攻篇中,
    孫子對火攻的問題有很詳細的建議:
    \begin{quote}
     \k12
     凡火攻, 必因火之變而應之。 火發於內, 則早應於外。 火發而兵靜者,
     待而勿攻; 極其火力, 可從而從之, 不可從而止。 火可發於外, 無待於內,
     以時發之。 火發上風, 晝風久, 夜風止。 凡軍必知有五火之變, 以數守之。
    \end{quote}
  \item 「掌握訊息」的建議。 孫子認為訊息對戰爭勝負的影響甚為重要, 能先知者,
        就能成功:
    \begin{quote}
     \k12
     故明君賢將, 所以動而勝人, 成功出於眾者, 先知也。
    \end{quote}
\end{enumerate}
以上都是孫子提出的優勢策略建議。 孫子以其豐厚的戰爭家學和直覺,
提出許多他個人對戰爭問題的看法。 從賽局論的角度來看,
這些都是優勢策略。 當然, 就某些方面而言,
孫子對問題的看法有絕對化的傾向, 隨著時空的轉變,
這些建議在目前看來, 在許多部分似嫌不足。
雖然如此, 我們重視的應該是他對問題的想法,
而不應拘泥在他對特定問題的建議本身。
我們現在處理思想問題的工具比起兩千五百年前的春秋時代多得多,
特別在抽象問題的處理上。
而孫子在沒有足夠分析工具的時代,
能以比較實際與具體的例子, 把他對衝突問題的想法表達得清楚, 已是相當難能可貴。

從以上繁多的引證, 很明顯的可以看出在孫子一書中,
優勢策略是他解決衝突問題的重要方法。
如果衝突的問題可以用優勢策略解決,
則無論問題的型態如何, 該問題都可以經由優勢策略找出解答,
而該解答也可符合均衡的標準, 也因此就不需考慮提出均衡存在與否的問題了。


\section[極大化最小值的策略]{極大化最小值的策略}
在賽局論中, 極大化最小值 (maxmin) 的決策方法是處理衝突問題的另一個方式。
在某些情形下, 雖然我們無法找出優勢策略,
也許我們仍可採用極大化最小值的策略找出均衡解。
{\bb12 極大化最小值的意思是, 當決策者面對策略選單時,
決策者選擇策略的依據在於比較各策略的最小報酬, 哪一個策略的最小報酬最高,
就選那個策略。}
這種選擇策略的優點是, 所選的策略保證了所得至少高於一定的水準。
而且當對手所選的策略對對手本身是一個不好的策略時,
決策者就可以利用對手的錯誤獲得更好的報償。 另外,
使用極大化最小值策略的一個重要特質是降低風險,
雖然這種策略不一定能得到最高的報酬, 卻可以保證決策者的所得至少高於一定水準。

一般來說, 極大化最小值策略通常在以下幾個特定的賽局討論之。
一是零和賽局,
在賽局論中, 假如一個與賽者的所得是另一個與賽者的所失,
則我們稱這種賽局為零和賽局 (zero-sum game)。 之所以稱為零和賽局,
是因為所有與賽者所得報酬相加之和始終為零。 當與賽者遭遇零和賽局時,
他們面對的環境是一個你爭我奪你輸我贏的競爭。
與零和賽局相關的概念是定和賽局 (constant-sum game),
所謂定和賽局, 是賽局中的與賽者, 報酬相加之和始終為定值 (constant-sum)。
(所以零和賽局是定和賽局的一個特例。)

賽局研究者將定和賽局與零和賽局統稱為嚴格競爭賽局 (strictly competitive game)。
其意為, 與賽者的地位始終處於競爭狀態, 好像在競爭一個固定大小的大餅一般。
對於零和賽局, 極大化最小值策略所得到的解答有以下幾個重要的性質,
這在賽局論立基者 Von Neumann 與 Morgenstern (1944) 的名著
\textit{The Theory of Games and Economic Behavior\/} 中有許多說明。
\begin{enumerate}\itemsep=-3pt
\item 從極大化最小值策略所得的報酬是 Nash 均衡 (Nash Equilibrium)。
\item 對兩個與賽者來說, 這個均衡帶給他們最好的報酬,
      而且如果有人離開這個均衡策略, 則離開者必受損失,
      而保持原策略者必能獲得更好的報酬。
      (以上這兩個性質不一定必須在零和賽局下才能成立,
      其實若賽局是一個定和賽局, 這樣的結果也可以成立。)
\item Von Neumann 與 Morgenstern
      更進一步證明任何包括混合策略的零和賽局都存在 Nash 均衡。
\end{enumerate}
第三個性質是一個很重要的性質,
這可以使與賽者在零和賽局中, 很容易判斷應有的策略選擇。
特別{\bb12 在不瞭解 \textbf{Nash} 均衡概念時,
極大化最小值策略之所以是很重要的概念,
就是因為極大化最小值策略可以幫助找到均衡解。}

孫子一書中有一些極大化最小值的策略意見。 底下是一些整理:
\begin{quote}
\k12
昔之善戰者, 先為不可勝, 以待敵之可勝。 {\m12 (形篇)}\\
故善戰者, 立於不敗之地, 而不失敵之敗也。 {\m12 (形篇)}\\
不可勝在己, 可勝在敵。 故善戰者, 能為不可勝, 不能使敵之可勝。 故曰:
「勝可知, 不可為。」 {\m12 (形篇)}
\end{quote}
這些話顯示在孫子的思考中, 極大化最小值是他考慮策略問題的一種方式。

經由以上的討論,
可以瞭解雖然孫子知道極大化最小值的概念,
但也無法充分證明他將所有競爭的問題都用零和或定和賽局來詮釋。
所以我們也無法肯定地說他的均衡概念一定與``零和或定和賽局''與
``極大化最小值策略''有關。

值得一提的是, 從上面三段引文我們可以大致猜測, 孫子對風險的態度是傾向保守的,
他對戰爭的風險態度很顯然是傾向趨避風險的。
底下引用的文字可以與這個猜測相呼應:
\begin{quote}
\k12
用兵之法, 無恃其不來, 恃吾有以待也。 無恃敵不攻, 恃吾有所不可攻也。
\end{quote}
畢竟正如孫子在計篇開宗明義的提醒讀者:
\begin{quote}
\k12
兵者, 國之大事, 死生之地, 存亡之道, 不可不察也。
\end{quote}
戰爭結果對人的影響實在太大了, 必須謹慎行事才是。

\section[一般狀態下之均衡]{一般狀態下之均衡}
均衡, 是賽局論對賽局結果預測最重要的概念。 在每一本賽局論的教科書中,
各種不同的均衡貫穿全書, 可見均衡在賽局論中的地位。
在「敵我理性的認知」一節, 我們提到均衡的作用在於幫助與賽者克服循環推論的困局,
使與賽者可以預測賽局可能的結果。
在優勢策略一節, 我們簡單的介紹均衡的概念,
並談到優勢策略在賽局論中的作用之一在於幫助與賽者找出均衡。
然而, 有些 (或許是大部份) 均衡不一定可以透過優勢策略及極大化最小值的策略找出來,
它們可能必須使用其它的概念, 如混合策略 (mixed strategy),
甚至透過均衡本身的定義才能被找到。
然而, 在孫子這本研究戰爭衝突的兵書中,
我們無法清楚的看到兩千五百年前,
孫子是否已經有系統的思考對手可能採取的策略,
並相應決定自己應採取什麼策略的想法。
然而, 這是很重要的觀念。 這關係著孫子到底有沒有均衡的概念,
關係著孫子是否使用均衡判斷哪些策略可行哪些不可行等處理策略的觀念。
以下我們試著分析孫子處理策略問題的方法,
試著研究這些方法中可能與交互行為有關的概念,
甚至與均衡有關的概念探討。

在孫子的戰略戰術思想中, 「勢」是孫子認為勝敗成功的關鍵。
在計篇中, 孫子首先對「勢」的概念作了簡單的說明:
「{\k12 勢者, 因利而制權也}」。
到了勢篇, 孫子以專章的方式討論「勢」的性質。 簡單的說,
孫子「勢」的意義在於抓住戰場上有利得時機, 採取適當的行動,
使我方形成雷霆萬鈞的態勢, 以優勢軍力如以石擊卵般的打擊敵人。

至於應採取何種策略以造成「勢」?
孫子在虛實篇以專章加以說明。
簡單的說, 要做到「{\k12 形人而我無形}」的境界。
孫子在虛實篇最後這麼說:
\begin{quote}
\k12
形兵之極, 至於無形。 無形, 則深間不能窺, 智者不能謀。 因形而錯勝於眾,
眾不能知。 人皆知我所以勝之形, 而莫知吾所以致勝之形。 故其戰勝不復,
而應形於無窮。
\end{quote}
也就是在孫子的想法中,
虛虛實實的「{\k12 形人而我無形}」策略是處理交互行為的重要方法。
而「{\k12 形人而我無形}」的策略建議也可能成為一種均衡。
在虛實篇中孫子提到:
\begin{quote}
\k12
形人而我無形, 則我專而敵分,
我專為一, 敵分為十, 是以十攻其一也, 則我眾而敵寡;
能以眾擊寡者, 則吾之所與戰者約矣。
吾之所與戰之地不可知, 不可知, 則敵所備者多; 敵所備者多, 則吾所與戰者寡矣。
故備前則後寡, 備後則前寡; 備左則右寡, 備右則左寡;
無所不備, 則無所不寡。\footnote{
這裡備前備後備左備右和循環推理的關係已經在共識一節討論過了,
請見共識一節的討論。}
寡者, 備人者也; 眾者, 使人備己者也。
\end{quote}
這種因「{\k12 形人而我無形}」得到的「{\k12 無所不備,則無所不寡}」的精神,
與均衡的概念頗為神似。 因為, 和賽局論中均衡策略意義相同的是,
它們是孫子突破循環推理困境的方法。
只是這種均衡是什麼均衡? 是混合策略均衡?
是 Nash 均衡 (Nash Equilibrium)? 還是其它?
在下一章, 我們以現代賽局論, 討論孫子「{\k12 形兵之極,
至於無形}」可能的兵形, 試著用現代賽局論對這種兵形提出可能的解釋。

值得一提的, 「{\k12 形人而我無形}」的策略可能是混合策略,
也可能是純粹策略。 在第三章中, 我們將討論虛實行為的可能混合策略,
在第四章「不能而示之能」與第五章「能而示之不能」中,
我們將以模型說明「{\k12 形人而我無形}」的純粹均衡策略
(pure strategy equilibrium)。
當策略有「{\k12 人皆知我所以勝之形,
而莫知無所以致勝之形}」的特徵, 就是一個好的純粹的均衡策略。

另外, 在賽局論中, 判斷某個均衡是否合理,
必須確認該策略組合的各個策略是否為可信 (credible)。
而檢驗威脅和承諾是否可信, 端視於不同的時點上,
實行威脅與承諾的的一方, 是否與提出威脅或承諾的一方利益不一致,
如果在將來某個時點信守承諾會使保證的一方利益受損,
這種承諾就是不可信的。
例如下象棋時, 我們可能會遇到某個棋士, 在一個看似毫無理由的情形下,
把車或某個重要的棋子無緣無故的送給他的對手,
這時候就必須仔細思考是否可以將這個車或這個重要的棋子毫無忌諱的吃掉,
而這種考慮就是判斷對手的行為是否為可信。
通常輕易的送出重要的棋子都是當餌, 而輕易的捕餌將可能因小失大。
若用賽局的語言, 對手這種送餌來食的行為是不可信的。 我們發現,
孫子瞭解策略可信度 (credibility) 的重要性。 底下舉出兩例:
\begin{quote}
\k12
敵進而靜者, 恃其險也; 遠而挑戰者, 欲人之進也; 其所居易者, 利也 ......
辭卑而益備者, 進也; 辭強而進趨者, 退也 ....... 無約而請和者, 謀也 ......
半進半退者, 誘也 ...... 兵怒而相迎, 久而不合, 又不相去, 必謹察之。 ({\m12 行軍篇})
\end{quote}
另外在地形篇裡也有袪除不可信的策略的概念:
\begin{quote}
\k12
我出而不利, 彼出而不利, 曰支; 支形者, 敵雖利我, 我無出也; 引而去之,
令敵半出而擊之。
\end{quote}
孫子這裡提醒讀者, 在支形的地形, 假使敵人欲誘我軍出戰, 則我出必定不利,
所以遇支形時, 切莫先動。

綜合上述, 在這一節中,
我們提出在一般情形下孫子「可能有的」均衡概念。
我們認為, 在虛實策略中, 可能可以找到孫子對交互行為問題的「均衡」想法,
也可能瞭解他的策略建議和均衡的關係。
另外, 我們還發現孫子也清楚必須瞭解策略是否可信的概念,
這對判斷正確的均衡解, 預測行為交互影響各方最後的結果有很重要的地位。

\section[訊息]{訊息}
「知己知彼, 百戰百勝」是大家耳熟能詳的成語,
它說明「知」在競爭中的絕對重要地位, 強調「知」與勝利的必然關係。
以經濟學的術語來說, 這句成語說明「訊息」在戰爭中的關鍵角色。
這句成語的來源應是孫子謀攻篇的一段話:
\begin{quote}
\k12
知己知彼者, 百戰不殆; 不知彼而知己, 一勝一負; 不知彼, 不知己, 每戰必殆。
\end{quote}
孫子的看法就比較平實, 在競爭中, 能做到知己知彼, 至少不會有危險。
經濟學家非常瞭解訊息的關鍵地位,
這可以從經濟學家把賽局的分類用「訊息」當做標準看出來。
在賽局論中, 訊息 (information) 的特徵對賽局的型態與結果有著舉足輕重的影響,
而經濟學家以訊息分類賽局方式有兩種: 一是訊息是否完美 (perfect),
二是訊息是否完全 (complete);
即「完美訊息賽局」對「不完美訊息賽局」
(games of perfect information v.s. games of imperfect information);
以及「完全訊息賽局」對「不完全訊息賽局」
(games of complete information v.s. games of incomplete information)
兩種標準。

所謂完美訊息指的是賽局中的與賽者, 對賽局相關的訊息完全知曉;
相對的, 不完美訊息賽局指的是賽局的與賽者對賽局相關的訊息並非完全知曉。
簡單的說, 就是參與賽局的與賽者能否判斷先動的對手採取了什麼策略。
如果與賽者可以清楚的看到其他與賽者採取什麼策略,
在自己作選擇時不會發生不知道對手先前採取了什麼策略的疑惑,
或對手無法隱藏自己採取的策略, 這種賽局就是完美訊息賽局 (perfect information
game)。 例如象棋是一個完美訊息賽局的例子。 對下象棋的雙方而言,
總是看得到對手一步一步如何配棋佈局。 出車就是出車, 將軍就是將軍,
走馬就是走馬, 完全可以看到對手如何出招, 不會有任何看不清對手行動的情形。
如果面臨的交互行為問題是不完美訊息賽局, 則其中的某一與賽者,
將無法清楚判斷之前對手採取什麼策略, 這種情形就稱為不完美訊息。
撲克牌裡的「接龍」 (又稱為排七) 遊戲常常是不完美訊息賽局的牌局。
當某位出牌者發現無牌可出時, 他就必須採取壓牌 (或稱為蓋牌) 的策略,
這種壓牌的行為會使牌局成為不完美訊息的賽局問題。
因為壓牌的動作對其他與賽者而言只是看到他出了一張牌, 有了一個動作,
但不像接牌一般, 看不到他壓的是什麼牌。

另一個關於訊息的賽局分類方法為討論訊息是否完全 (complete)。
所謂完全訊息的賽局指的是每位與賽者,
對自己與其他與賽者對策略與報酬的關係, 可以很清楚的判定,
不會有任何混淆或搞不清楚的狀況, 就稱為完全訊息賽局。
象棋是一個完全訊息賽局的例子。 吃包、吃馬、吃卒、將軍、抽車 ......
都可以很清楚的判斷出來, 絕不會搞不清楚是吃了 (或被吃了) 哪一個棋子。
但影響訊息是否完全的因素很多, 我方與其他與賽者實力的差別是一個可能的影響因素。
但問題就出在做決策前, 決策者無法判斷他的實力是優於或劣於其他與賽者,
所以決策者將無法確定採取的策略與所得的報酬間的必然對應關係。
例如橋牌在決定莊家喊牌的過程, 就是一個不完全訊息的賽局的例子。
雖然我手中某些牌在數量上看起來還不錯, 但我一方面不知道我的對家有哪些好牌,
當然也不知道我的對手們可能有什麼牌, 但這時候牌局卻規定必須叫牌決定莊家。
如果在決定莊家前能判斷我方與對手牌的好壞,
將對牌局的勝負輸贏的策略決定有重大的影響。
一般來說, 決策者遭遇的最大難題是訊息完全與否的問題。
賽局研究者甚至以訊息完不完全, 作為賽局處理問題的兩大分野。
賽局論對訊息是否完全提出兩三個重要的均衡概念,
作為預測不完全訊息下的策略選擇依據。
賽局論對於以數學詮釋訊息是否完全的問題比較複雜,
必須借用機率論的數學工具才能克竟全功。 在描述``合理的''均衡時,
有時候還必須加上信仰 (belief) 的限制。
在第四章和第五章我們提出兩個不完全訊息賽局的模型,
來說明欺敵的故事。

訊息之所以重要, 在於為與賽者提供了行動的指引,
幫助與賽者判斷威脅與承諾是空洞的或可信的。
先知道一些訊息有時候對先知的一方有利,
然而有時候先知或知道太多卻可能造成困擾。
訊息不但可以當成判斷行動的依據, 也可以當成可資利用的策略。
不同的訊息結構會改變賽局的型態,
影響自己或其他人的決策。 所以, 訊息對賽局形式與結果的影響既深且鉅。
也就是說, 訊息對交互行為的問題, 有著舉足輕重的地位。

在孫子一書中, 孫子對訊息在決策中的地位非常非常重視,
在全書前後到處可以看到他對訊息重視, 例如他說:
\begin{quote}
\k12
策之而知得失之計, 作之而知動靜之理, 形之而知死生之地,
角之而知有餘不足之處。
({\m12 虛實篇})
\end{quote}
要知道得失之計, 就必須仔細的研究; 要知道敵人動靜之理, 就必須挑動敵軍;
要知道戰地的地理環境, 就必須仔細偵察; 要知道敵人的有餘不足之處,
採取小規模的試探性較量是必要的。 這些行為都是強調訊息對戰爭的重要。
此外, 孫子還提供了很多重要的戰場經驗, 這些經驗對戰場情勢的判斷很有幫助。
例如在行軍篇他提到:
\begin{quote}
\k12
眾樹動者, 來也; 眾草多障者, 疑也; 鳥起者, 伏也; 獸駭者, 覆也;
塵高而銳者, 車來也; 卑而廣者, 徒來也; 散而條達者, 採樵也; 少而往來者, 營軍也
...... 杖而立者, 飢也; 汲而先飲者, 渴也; 見利而不進者, 勞也;
鳥集者, 虛也; 夜呼者, 恐也; 軍擾者, 將不重也; 旌旗動者, 亂也; 吏怒者, 倦也;
粟馬肉食, 軍無懸缶, 不返其舍者, 窮寇也 ......
\end{quote}
這些實際的經驗, 對萃取戰場形勢的資訊, 對化解不完美訊息
(imperfect information) 的困擾有很大的助益。

在孫子一書的最後一篇 --- 用間篇, 孫子也以全篇的篇幅說明訊息的重要。
在用間篇一開始, 孫子說明了訊息在求勝與成功中的地位:
\begin{quote}
\k12
故明君賢將, 所以動而勝人, 成功出於眾者, 先知也。
先知者, 不可取於鬼神, 不可象於事物, 不可驗於度, 必取於人, 知敵之情者也。
\end{quote}
對敵情的瞭解, 重要的內容之一是瞭解敵我實力的相對大小,
以瞭解敵我之間勝算的關係。 這對判斷策略的行使有絕對的助益。 用賽局的語言,
這和判斷訊息是否完全 (complete) 有很大的關係。 在用間篇最後, 孫子又說:
\begin{quote}
\k12
能以上智為間者, 必成大功。 此兵之要, 三軍之所恃而動也。
\end{quote}
也強調訊息對選擇策略, 成功立業的重要地位。

以賽局詮釋「先知」的好處很多。
其中之一是, 先知可以增加決策者策略的可選集合,
使決策者能因對手的行動決定其最適當的選擇。
先知也可以使同時行動的賽局 (simultaneous move game)
變成序列行動 (sequential move game) 的賽局。 先知也可能使敵我的實力發生消長,
使賽局的形式轉變成對先知的一方有利。 先知也可能排除一些不必要的策略選項,
以最不費力的形式獲取最好的報酬。

然而, 孫子並沒有討論「先知」可能對先知的一方不利的情形。
在某些情形下, 先知並沒有好處。
在第四章「不能而示之能」中,
我們將以「戰略行動」 (strategic move) 以及「戰略效果」 (strategic effect) 為例,
說明先知反而對後動者帶來壞處。

\section[虛實的意義與作用]{虛實的意義與作用}
在孫子一書中, 「虛實策略」是他認為獲勝應該採取的重要方法。
而有效的「虛實」策略, 其關鍵是對訊息 (information) 成功的操作,
利用訊息的特性, 因勢利導的採取正確的行動, 獲取最大的報酬。

在孫子一書中, 虛實行為對孫子是高度重視的求勝策略。
可從孫子以虛實篇整篇來探討「虛實」的行為有所體認。
孫子認為的虛實有兩個層面的意義:
一是在不改變雙方的實力下, 採取必要的行動, 模糊敵人對我方策略的判斷,
讓敵人無法決定該採取什麼策略, 以避免其對我方不利的選擇。
在賽局論中, 混合策略就有這樣的性質。
另一個意義是積極掌握實力的資訊: 試圖模糊或改變敵人對我方實力的判斷,
甚至致使敵我實力發生消長,
而以實擊虛, 以石擊卵的打擊敵人。 孫子所謂善戰者之勝,
所謂:
\begin{quote}
\k12
善戰者之勝, 勝於易勝者也。 ({\m12 形篇})
\end{quote}
就是這個意思。
而計篇的一段文字, 正說明了這種改變敵人實力虛實的虛實策略精神:
\begin{quote}
\k12
兵者, 詭道也。 故能而示之不能, 用而示之不用, 近而示之遠, 遠而示之近 ......
攻其無備, 出其不意。 此兵家之勝, 不可先傳也。
\end{quote}
這段話也將訊息在用兵致勝中扮演的角色, 清楚的說明出來。
孫子強調, 應利用軍形來混亂敵人的判斷, 造成敵人在實力上相對於我方處於不利的地位,
以攻其無備, 出其不意的態勢, 贏得勝利。

至於孫子對虛實行為有哪些建議呢? 以下是我們的整理。
虛實能發揮作用主要源於訊息的特性。
而在虛實篇一開始, 孫子對虛實的行為與目的作了這樣的描述:
\begin{quote}
\k12
善攻者, 敵不知其所守; 善守者, 敵不知其所攻。 微乎微乎, 至於無形; 神乎神乎,
至於無聲, 故能為敵之司命。
\end{quote}
虛實要做到形人而我無形, 進而能做到為敵之司命。
對於行為上的「虛實」, 孫子認為有幾個性質要注意:
\begin{enumerate}\itemsep=-3pt
\item 行動不可以太有規律, 在勢篇裡孫子提到:
      \begin{quote}
       \k12
       鷙鳥之疾, 至於毀折者, 節也。
      \end{quote}
      因為行動若有規律 (節), 敵人將可以輕易掌握住我方的弱點,
      所以這是兵家的大忌。
\item 孫子建議要善於適應環境, 隨機應變:
      \begin{quote}
       \k12
       夫兵形象水, 水之形, 避高而趨下; 兵之形, 避實而擊虛。 水因地而制流,
       兵因敵而制勝。 故兵無常勢, 水無常形, 能因敵之變化而取勝者, 謂之神。 ({\m12 虛實篇})
      \end{quote}
\item 要能「{\k12 出其所不趨, 趨其所不意}」 (虛實篇)。
      正所謂:
      \begin{quote}
       \k12
       形兵之極, 至於無形。 無形, 則深間不能窺, 智者不能謀,
       因形錯勝於眾, 眾不能知。 ({\m12 虛實篇})
      \end{quote}
\end{enumerate}
而最重要的, 就是做到「{\k12 形人而我無形}」的境界。 若真能如此,
就能掌握敵人虛實, 做到以石擊卵, 以我方之實擊敵方之虛了。
\begin{quote}
\k12
形人而我無形, 則我專而敵分, 我專為一, 敵分為十, 是以十攻其一也,
則我眾而敵寡, 能以眾擊寡者, 則吾之所與戰者約矣。 ({\m12 虛實篇})
\end{quote}

\section[結語]{結語}
在這章中, 我們像是戴了一副特別的眼鏡, 從不同於傳統的角度,
重新檢視孫子這部中國自春秋時代以來最重要的兵書。
就現代 (社會) 科學的立場,
兩千五百年前的孫子, 在很多方面已經知道現代衝突研究者處理交互行為的工具。
特別在理性方面, 孫子有了不起的認識。 理性的態度使得孫子知道應該重視報酬,
重視策略, 重視訊息, 重視風險, 重視瞭解敵人的反應等等,
這些都是現代經濟學, 賽局論認為致關重大, 而且必須面對的問題。
大體而言, 我們認為, 孫子對理性的看法非常清楚,
對報酬以及策略空間的概念很清晰, 也瞭解訊息的重要性。
對於孫子處理賽局「理性的共識」以及突破「循環推理」問題的方法,
主要是優勢策略。 雖然孫子處理交互行為問題的一些方法,
從今天的觀點來看, 孫子的建議並不完整,
然而, 孫子對某些細節認識得相當清楚。 例如優勢策略的特性、 策略行使的先後、
極大化最小值的概念、 找出可信策略的一些方法、 誘因的重要性等。
在某些條件下, 這些都是賽局論獲得``均衡解''的重要工具。
在沒有充分處理抽象問題的工具,
沒有適當數學概念 (如機率論等) 的時代,
孫子無法充分處理現代賽局某些深入的問題我們並不驚訝,
相對的, 對於孫子已經具有的能力才是我們應該真正感到佩服和讚嘆的!

在以後的第三章, 第四章以及第五章中,
我們將討論孫子學說與均衡的關係。
我們所關心的是, 孫子對策略的建議是否與現代賽局論的說法相容而不矛盾。
在以下各章, 我們將試圖對這個問題, 提供一些合理以及可能的解釋。
