# Chapitre 3 Pour trouver les premières décimales de π

## 3.1 La formule de Gregory

La série de Gregory est le développement en série entière de arctan(x)
On a :

arctan(x)=x−

x3
3

+

x5
5

+...+(−1)k

x2k+1
2k+1

+...

Le reste de cette série alternée est du signe du premier terme négligé et est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé.

## 3.2 La formule de Machin

De la formule d’addition des tangentes à savoir :

tan(a+b)=

tan(a)+tan(b)
1−tan(a)*tan(b)

on en déduit la formule pour ab<1 :

arctan(a)+arctan(b)=arctan(

a+b
1−ab

)

Exercices :
1/ Pour a=1/5 on cherche b pour que :

arctan(a)+arctan(b)=arctan(1)=

π
4

On doit donc résoudre :

a+b
1−ab

=1

On trouve :

b=

1−a
1+a

=

2
3

Donc :

arctan(

1
5

)+arctan(

2
3

)=

π
4

2/ Pour a=1/5 on cherche b pour que :

arctan(a)+arctan(b)=arctan(

2
3

)

On doit donc résoudre :

a+b
1−ab

=c=

2
3

On trouve :

b=

c−a
1+ac

=

2
3

−

1
5

1

2
15

=

7
17

Donc :

2arctan(

1
5

)+arctan(

7
17

)=

π
4

3/ En faisant encore deux fois le même genre de substitution, montrer la formule de Machin :

4arctan(

1
5

)−arctan(

1
239

)=

π
4

Pour cela on prend successivement :
c=7/17 et on trouve b=c−a/1+ac=9/46 et
c=9/46 et on trouve b=c−a/1+ac=−1/239
4/ Écrire un programme qui prend en entrée a et n et qui renvoie la liste L des valeurs de bk vérifiant :
karctan(a)+arctan(bk)=π/4 pour k=1..n (L[k−1]=bk)
On tape le programme :

    machin1(a,n):={
    local k,c,L;
    c:=1;
    L:=[];
    for (k:=1;k<n+1;k:=k+1) {
    c:=(c-a)/(1+a*c);
    L:=append(L,c);
    }
    return(L);
    };

On tape :
`machin1(1/5,5)`
On obtient :
`[2/3,7/17,9/46,1/-239,-122/597]`
On tape :
`machin1(1/3,5)`
On obtient :
`[1/2,1/7,-2/11,-17/31,-41/38]`
Ainsi :
`2` `arctan``(``1/3``)+``arctan``(``1/7``)=``π/4`

## 3.3 Les décimales de π avec les formules précédentes

### 3.3.1 Une remarque

Si on utilise pour calculer π la formule :

arctan(x)=x−

x3
3

+

x5
5

+...+(−1)k

x2k+1
2k+1

+...

Si on prend x=1, on a arctan(1)=π/4=1−1/3+1/5+...+(−1)k1/2k+1+... mais la convergence est lente.
On remarque que la convergence est beaucoup plus rapide pour x=1/5 et encore plus rapide pour x=1/239 d’où l’utilisation de la formule :

π
4

=4arctan(

1
5

)−arctan(

1
239

)

### 3.3.2 Le programme avec `Xcas`

Pour calculer la somme de n termes de la série on va utiliser la méthode de Hörner pour faire le moins possibles de multiplications, on a :
arctan(x)=x(1−x2(1/3−x2(1/5−x2(....−x2(1/2n−1)))))
L’utilisateur doit rentrer la valeur a de x et le nombre n de termes de la série.

    gregory(a,n):={
    local t,k;
    t:=1/(2*n-1);
    for (k:=2*n-3;k>0;k:=k-2) {
    t:=1/k-a^2*t;
    }
    return (a*t);
    };

On tape :
`16*gregory(1/5,18)-4*gregory(1/239,6)`
On obtient :
`3.14159265359` On tape :
`evalf(16*gregory(1/5,42)-4*gregory(1/239,20))`
On obtient (si on a choisit 60 `Chiffres` dans le cas set_up que l’on ouvre avec le bouton rouge `cas`):
`3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494`

### 3.3.3 Combien faut-il calculer de termes ?

Soit Rn(x) le reste de la série ∑k=1∞(−1)k+1x2k−1/2k−1 : Rn(x)=∑k=n+1∞(−1)k+1x2k−1/2k−1.
On sait que |Rn(x)|<|x|2n+1/2n+1 Pour avoir |Rn(1/5)|=|Rn(0.2)|<10−61 il faut que :
22n+1<(2n+1)102n−60 et comme 210≃ 103 cela donne si on suppose 2n+1>10 :
10(6n+3)/10<102n−59 soit 593<14n soit n≃ 42 On vérifie pour n=42 on a (1/5)85/85<2.56e−62
On peut aussi écrire si on suppose que 2n+1>10 :
|x|2n+1/2n+1<x2n+1/10<10−61 donc on va choisir x2n+1<10−60 soit (2n+1)log10(x)<−60 ou encore n>((−60)/log10(x)−1)/2 Pour x=1/5 on a n>42.4202967422 et comme 2n+1>40 on peut améliorer la majoration |x|2n+1/2n+1<x2n+1/40<10−61
ce qui donne n>((−60+log10(4))/log10(1/5)−1)/2=41.9896201841 donc on prend n=42
pour x=1/293 on a n>11.66 donc on prend n=12 et on vérifie : (1/239)25/25=1.38711499837e−61.
On choisit 62 `Chiffres` dans le cas set_up que l’on ouvre avec le bouton rouge `cas`) et on tape :
`evalf(16*gregory(1/5,42)-4*gregory(1/239,12))`
On obtient :
`3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446`
On tape :
`evalf(pi)`
On obtient :
`3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446`
Remarque
Avec cette méthode John Machin calcula 100 décimales de π en 1706.

### 3.3.4 Les formules de même type que celles de Machin

En 1973, Jean Guilloud a mis une journée pour calculer 106 décimales de π en utilisant une formule de même type à savoir :

6arctan(

1
8

)+2arctan(

1
57

)+arctan(

1
239

)=

π
4

en vérifiant ses calculs avec la formule analogue :

12arctan(

1
18

)+8arctan(

1
57

)−5arctan(

1
239

)=

π
4

En 1999, Yasumata Kanadaa a atteint le record en calculant 12411* 108 décimales de π en utilisant une formule de même type à savoir :

24arctan(

1
12943

)−12arctan(

1
682

) +44arctan(

1
57

)+7arctan(

1
239

)=

π
4

et la formule analogue :

12arctan(

1
49

)+32arctan(

1
57

)−5arctan(

1
239

)+12arctan(

1
110443

)=

π
4

On peut vérifier ces formules avec `xcas`, on tape par exemple :
`tsimplify(12atan(1/49)+32atan(1/57)-5atan(1/239)+12atan(1/110443))` On obtient :
`π/4`
Comment trouver des formules de type Machin ?
Montrons pour cela que si a ∈ N et si a2+1=a1*a2 alors :
arctan(1/a)=arctan(1/(a+a1/)+arctan(1/(a+a2))
On a si xy<1, arctan(x)+arctan(y)=arctan((x+y)/(1−xy)) donc
arctan(1/(a+a1))+arctan(1/(a+a2))=arctan((2a+a1+a2)/((a+a1)(a+a2)−1))=arctan(1/a) puisque a1a2−1=a2, (a+a1)(a+a2)−1)=a2+a(a1+a2)+a2=a(2a+a1+a2).
On a donc :
a=1 a2+1=2=1*2 donc π/4=arctan(1)=arctan(1/2)+arctan(1/3)
a=2 a2+1=5=1*5 donc arctan(1/2)=arctan(1/3)+arctan(1/7)
a=3 a2+1=10=1*10=2*5 donc arctan(1/3)=arctan(1/4)+arctan(1/13)=arctan(1/5)+arctan(1/8
a=5 a2+1=26=1*26=2*13 donc arctan(1/5)=arctan(1/7)+arctan(1/18)=arctan(1/6)+arctan(1/31
a=7 a2+1=50=1*50=2*25 donc arctan(1/7)=arctan(1/8)+arctan(1/57)=arctan(1/9)+arctan(1/32)
On en déduit donc que :

π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7)

π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/5)−arctan(1/18)

π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/5)−arctan(1/18)

π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/8)+arctan(1/57)

π/4=3arctan(1/3)−arctan(1/5)+arctan(1/57)

et en utilisant π/4=4arctan(1/5)−arctan(1/239) on retrouve facilement les 2 formules utilisées par Jean Guilloud :
6arctan(1/8)+(6−4)arctan(1/57)+arctan(1/239)=
6(π/4−2arctan(1/3))−4(π/4−3arctan(1/3)+arctan(1/5))−π/4+4arctan(1/5)=
π/4
et
12arctan(1/18)+8arctan(1/57)−5arctan(1/239)=
12(−π/4+2arctan(1/3)+arctan(1/5))+8(π/4−3arctan(1/3)+arctan(1/5))+5(π/4−4arctan(1/5))=π/4