Retour à la page personnelle de Bernard Parisse.

# Chapitre 2 Arithmétique en terminale

## 2.1 Énoncé sur la partie entière

Montrer que la partie entière de a=(3+√5)n est un entier impair quelquesoit l’entier n dans ℕ.

### 2.1.1 Cherchons avec `Xcas`

On peut faire des essais dans le tableur.
Dans A0 on met 1
Dans A1 on met =A0*(3+sqrt(5))
Dans B0 on met =floor(A0)
Dans B1 on met =floor(B1)
Puis on remplit vers le bas.
Dans cet exercice il faut penser à associer à (3+√5)n sa quantité conjuguée (3−√5)n.
Dans C0 on met 1
Dans C1 on met =C0*(3-sqrt(5))
Dans D0 on met =floor(A0+C0)
Dans D1 on met =C0*(3-sqrt(5))
Puis on remplit vers le bas.

### 2.1.2 La démonstration

On remarque que :
b=(3+√5)n+(3−√5)n est un entier pair (d’après la formule du binôme) et que 0<(3−√5)n<1.
On a donc a<b<a+1, ou encore b−1<a<b avec b un entier pair.
Cela prouve que la partie entière de a=(3+√5)n est b−1 qui est un entier impair.

## 2.2 Énoncés sur le nombre de diviseurs d’un entier

### 2.2.1 L’énoncé 1

Quel est, parmi les entiers naturels de 1 à 2005, celui qui admet le plus de diviseurs ? Quel est ce nombre de diviseurs ?

### 2.2.2 Réponse avec `Xcas`

On tape :
`2*3*5*7`
On obtient :
`210`
On tape :
`2*3*5*7*11`
On obtient :
`2310`
Cela nous dit que le nombre est de la forme :
2a*3b*5c*7d avec a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0
et alors son nombre de diviseurs est :
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)
On peut maintenant faire une recherche systématique :
Il semble qu’il faut supposer que d ≠ 0 car avec - b=0,c=0, d=0 on ne peut avoir que 210 qui n’a que 11 diviseurs,
- c=0,d=0 (a+1)(b+1)
vaut 20 pour a=9 et b=1 (29*3=1536)
vaut 28 pour a=6 et b=3 (26*33=1728)
- d=0 (a+1)(b+1)(c+1)
vaut 32 pour a=7, b=1 et c=1 (27*3*5=1920)
vaut 36 pour a=5, b=2 et c=1 (25*32*5=1444)
- si d ≠ 0
On tape :
`210*6`
On obtient :
`1260`
et 1260 admet 3*3*2*2=36 diviseurs ou on tape :
`size(idivis(1260)`
On obtient :
`36`
On tape :
`210*8`
On obtient :
`1680`
et 1680 admet 5*2*2*2=40 diviseurs ou on tape :
`size(idivis(1680)`
On obtient :
`40`
On fait une recherche systématique :
210=1024 a 11 diviseurs,
29*3=1536 a 20 diviseurs,
27*32=1116 a 24 diviseurs,
26*33=1728 a 28 diviseurs,
24*34=1296 a 25 diviseurs,
27*3*5=1920 a 32 diviseurs,
25*32*5=1440 a 24 diviseurs,
24*3*5*7=1680 a 40 diviseurs.

### 2.2.3 L’énoncé 2

1/ Trouver le plus petit nombre entier n qui admet exactement 50 diviseurs.
2/ Existe-t-il un entier m qui soit inférieur à n et qui admette plus de 50 diviseurs ?

### 2.2.4 Réponse avec `Xcas`

On sait que si n=ap*bq*cr le nombre de diviseurs de n est (p+1)(q+1)(r+1).
On a :
`50=1*50=2*25=10*5=2*5*5` 1/ On cherche le plus petit nombre entier qui admet exactement 50 diviseurs, donc les candidats sont :
249
224*3
29*34
24*34*5
C’est donc 6480=24*34*5
On tape :
`size(idivis(6480))`
On obtient :
`50`
2/ On doit avoir :
m<24*34*5 donc pour qu’il est plus que 50 diviseurs il faut que m soit de la forme m=2p*3q*5r*7s avec p<=4,q<4,r=1,s=1 et 4(p+1)(q+1)>50.
Essayons p=4,q=2, on a 4(p+1)(q+1)=60>50 et m=24*32*5*7=5040.
Donc m= répond à la question.

## 2.3 Énoncés sur l’identité de Bézout

### 2.3.1 L’énoncé 1

Quel est le plus petit nombre entier avec lequel il faut multiplier 49 pour obtenir un nombre se terminant par 999999999 (9 neufs) ?

Réponse niveau primaire
On peut faire une multiplication à trous :

49*.........=..999999999

On trouve :

49*693877551=33999999999

Réponse niveau collège
On a 9999999999=109−1 et le résultat de la multiplication doit être de la forme n*109+109−1 avec 0≤ n<49 (ou de la forme p*109−1) avec 0< p ≤ 49).
On utilise le tableur en cherchant n pour que : n*109+109−1 soit divisible par 49.
On utilisera les commandes `irem(a,b)` et `iquo(a,b)` qui renvoient respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de `a` par `b`.
Pour cela on met dans la première colonne les nombres de 0 à 48, puis dans la deuxième colonne les nombres n*109+109−1 pour n de 0 à 48. Dans la troisième colonne on calcule le reste de la division de la deuxième colonne par 49 et on trouve que pour n=33 ce reste est nul. Il reste à calculer `iquo(33*10```^```9+10```^```9-1,49)` et on trouve :

693877551

Mais cette méthode est très couteuse ! On peut aller un peu plus vite (surtout si on veut faire les calculs à la main en remarquant que 10=3 mod7 et que 100=2 mod49 donc :
103=−1 mod7
106=1 mod7
109=−1 mod7
108=24=16 mod49 109=13 mod49
13*−7=7 mod49 On cherche a tel que a*109=49*k+1=7*p+1.
donc −a=1 mod7 et 13*a=1 mod49
Si a=48 on a 13*a=−13=36 mod49
Si a=41 on a 13*a=13*−1+13*−7=−13+7=−6 mod49
Si a=34 on a 13*a=13*−1+13*−7+13*−7=1 mod49
Donc 34*109=1 mod49
Il reste à calculer `iquo(34*10```^```9-1,49)` et on trouve :

693877551

Réponse niveau TS
On a : 999999999+1=109.
On cherche p pour avoir : p*49=a*109−1 c’est à dire 1=a*109−p*49.

Avec `Xcas` on tape :
`bezout_entiers(49,10```^```9)`
On obtient :
`[306122449,-15,1]`
Donc :
49*306122449−15*109=1 et puisque 49*109−49*109=0, on a :
49*(109−306122449)+(15−49)*109=−1.
Puisque 109−306122449=693877551 et (49−15)=34, on a :

49*693877551=34*109−1=33999999999

Pour faire les calculs à la main on écrit :
109=13 mod49
donc on écrit les 2 premières équations :

0*13+1*49=49

1*13+0*49=13

puisque 49=3*13+10 on soustrait 3 fois l’équation 2 à l’équation 1 et on obtient l’équation 3 :

−3*13+1*49=10

puisque 13=1*10+3 on soustrait l’équation 3 à l’équation 2 et on obtient l’équation 4 :

4*13−1*49=3

puisque 10=3*3+1 on soustrait 3 fois l’équation 4 à l’équation 3 et on obtient l’idendité de Bézout :

−15*13+4*49=1

On a −15=34 mod49 et 109=13 mod49 donc 34*109−1 est divisible par 49.
Il reste à calculer `iquo(34*10```^```9-1,49)` et on trouve :

693877551

### 2.3.2 L’énoncé 2

Résoudre en nombres entiers :

13x+5y=1

5x+13y=6

Avec `Xcas` on tape :
`bezout_entiers(13,5)`
On obtient :
`[2,-5,1]`
Donc 2*13−5*5=1.
et puisque k*13*5−k*13*5=0, on a : 13*(2+5k)−(5+13k)*5=1.
13x+5y=1 a donc comme solutions x=2+5k,y=−5−13k avec k dans ℤ.
En multipliant l’égalité 13*(2+5k)−(5+13k)*5=1 par 6 on a :
13*(12+30k)−(30+78k)*5=6
5x+13y=6 a donc comme solutions x=−30−78k,y=12+30k avec k dans ℤ.

## 2.4 Énoncés sur des nombres de ℤ/pℤ

### 2.4.1 L’énoncé 1

Trouver les 2 derniers chiffres de 1996919969.

Ici, on est sûr que le dernier chiffre est 9, puisque 19969 est un nombre impair.
On peut utiliser le tableur pour chercher les 2 derniers chiffres de 69n.
Cela nous montre que 6910k=1 et que 6910k−1=29.
Donc les 2 derniers chiffres de 1996919969 sont 29.

On peut aussi taper directement pour vérifier :
`irem(19969```^```19969,100)`

### 2.4.2 L’énoncé 2

Trouver les 2 derniers chiffres de 1999619996.

Ici, on est sûr que le dernier chiffre est 6.
On peut utiliser le tableur pour chercher les 2 derniers chiffres de 96n.
Cela nous montre que 965k+1=96.
Donc les 2 derniers chiffres de 1999619996 sont 96.

On peut aussi taper directement pour vérifier :
`irem(19996```^```19996,100)`

Retour à la page personnelle de Bernard Parisse.