# Chapitre 2 La suite de Fibonacci et le nombre d’or

## 2.1 La suite de Fibonacci

### 2.1.1 La définition

La suite de Fibonacci est la suite u définie par :
u0=1
u1=1
un=un−1+un−2 pour n>1

### 2.1.2 Le programme avec `Xcas`

Il ne faut surtout pas écrire un programme récursif car sinon on calcule les mêmes termes plusieurs fois : Pour avoir le nième terme (on commence par u0) :

    Fibonacci(n):={
    local a,b,c;
    si n==0 ou n==1 alors
       retourne 1;
    fsi;
    a:=1;
    b:=1;
    pour k de 2 jusque n faire
        c:=a+b;
        a:=b;
        b:=c;
    fpour;
    retourne c;
    }:;

On tape :
`Fibonacci(10)`
On obtient :
`89`
Pour avoir les n premiers termes :

    Fibonasuite(n):={
    local a,b,c,L;
    L:=NULL;
    si n<=0 alors retourne L;fsi;
    L:=L,1;
    si n==1 alors retourne L;fsi;
    L:=L,1;
    si n==2 alors retourne L; fsi;
    a:=1;
    b:=1;
    pour k de 3 jusque n faire
        c:=a+b;
        L:=L,c;
        a:=b;
        b:=c;
    fpour;
    retourne L;
    }:;

On tape :
`Fibonasuite(11)`
On obtient :
`1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89`

### 2.1.3 Propriété

La suite de Fibonnacci vérifie :

un+1.un−1−un2=(−1)n−1

En effet :
1*2−1=1, 3*1−22=−1, 5*2−32=1
et on a :
un+1.un−1−un2=un.un−1+un−12−un2=un(un−1−un)+un−12
Donc :
un+1.un−1−un2=−un.un−2+un−12.
On a par exemple : 5*13−82=1
Cela conduit au paradoxe suivant :
Soit un carré de côté 8 unités. 0n le découpe en 4 morceaux et on dispose ces 4 morceaux comme ci dessous (on pourrait faire la même chose avec un carré de côté un des termes un de la suite de Fibonacci puis faire le découpage en utilisant les 2 termes précedents un−2 et un−1 ):
Le carré a comme surface 64 carrés alors que le rectangle est composé de 5*13=65 carrés. D’où vient le carré supplémentaire ? Le carré supplémentaire est l’aire du parallélogramme bleu !!!!

En effet les bords des 4 morceaux ne suivent pas la diagonale du rectangle qui a comme pente −5/13 ce qui est différent de -2/5 et de -3/8.
Selon la longueur du carré initial il peut soit y avoir un petit carré en trop soit en manquer 1 puisque un+1.un−1−un2=(−1)n−1.

## 2.2 Le nombre d’or

Les quotients des termes successifs de la suite de Fibonnacci est la suite vn=un+1/un pour n ≥ 0
Cette suite converge vers le √5−1/2 : c’est le nombre d’or. En effet vn=1+un−1/un=1+1/vn−1 vn−vn−1=vn−12+vn−1+1/vn−1 Le trinôme x2+x+1 est toujous positif donc v est croissante. Montrons par reécurrence que 1 ≤ vn ≤ 2 pour tout n : 1≤ v0=1<2 si 1 ≤ vn−1<2 alors 1/2≤ 1/vn−1≤ 1 donc 1≤ 1+1/2 ≤ vn≤ 1+1=2 v est croissante et mmajorée elle converge donc vers φ qui vérifie :
φ=1+1/φ ou encore φ2−φ−1=0 et φ≥ 1. donc φ=1+√5/2 Le nombre d’or est :

l=

1+

√

5

2

≃ 1.61803398875

### 2.2.1 Propriétés du nombre d’or

φ2=1+φ

(φ−1)*φ=1

φ=

√

1+

√

1+

√

1+

√

1+...

1
φ

=1+φ

φ=1+

1

1+

1

1+

1
1+...

Si un réctangle est tel que le rapport de la longueur L à la largeur l soit φ alors :

L
l

=

l
L−l

=φ

On tape :

    spiror(a,b,n):={
    local au,r,L;
    L:=NULL;
    si n==0 alors retourne L,segment(a,b);fsi;
    au :=(1+sqrt(5))/2;
    L:=L,rectangle(a,b,au-1);
    r:=(b-a)*(au-1);
    L:=L,affichage(cercle(a+r,r,pi/2,pi),1);
    retourne L,spiror(a+r*(1+i),a+r,n-1);
    }:;

puis on tape :
`spiror(0,1/2+sqrt(5)/2,7)`
On obtient :