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# Chapitre 7 Les courbes de degré au plus 2.

Ce sont les courbes qui ont comme équation, dans un repère Oxy, P(x,y)=0 où P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2.

## 7.1 La droite

L’équation cartésienne d’une droite non parallèle à l’axe Oy est y=a*x+b.
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de a et b on tape dans un écran de géométrie :

    a:=element(-4..5);
    b:=element(-4..2);
    droite(y=a*x+b);

L’équation cartésienne d’une droite quelconque est m*x+n*y+p=0 : son vecteur normal est m+i*n et elle passe par le point −i*p/n si n≠ 0 ou par le point −p/m si m≠ 0 (on suppose m*n ≠ 0).
L’équation paramétrique d’une droite passant par le point A=x0+i*y0 et parallèle au vecteur V=u+i*v est x(t)=x0+u*t, y(t)=y0+v*t (on suppose u*v ≠ 0).
Avec `Xcas`
si on veut voir l’influence de A, u et v on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    u:=element(-4..5);
    v:=element(-4..2);
    plotparam(re(A)+u*t+i*(im(A)+v*t),t);
    plotparam(evalc(A+(u+i*v)*t),t)
    //plotparam(A+(a+i*b)*t,t);

L’équation paramétrique d’une droite passant par le point A=x0+i*y0 et le point B=x1+i*y1 est x(t)=x0+t*x1/1+t, y(t)=y0+t*y1/1+t (si t ≠ −1).
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de A et B on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(1,0);
    B:=point(0,1);
    plotparam(affixe(A+B*t)/(1+t),t);
    m:=element(-4..5);
    M:=point((A+B*m)/(1+m));

## 7.2 Le cercle

L’équation cartésienne d’un cercle centré à l’origine et de rayon |a| est :
x2+y2=a2.
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de géométrie :

    a:=element(0..5);
    plotfunc(sqrt(a^2-x^2),x);
    plotfunc(-sqrt(a^2-x^2),x);

L’équation cartésienne d’un cercle centré en A=x0+i*y0 et de rayon |a| est (x−x0)2+(y−y0)2=a2.
L’équation paramétrique d’un cercle centré en A=x0+i*y0 et de rayon |a| est x(t)=x0+|a|*cos(t), y(t)=y0+|a|*sin(t).
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=element(0..5);
    plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t)

Pour avoir un demi-cercle pour t allant de −π/2 à π/2, on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=element(0..5);
    plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t=-pi/2..pi/2)

L’équation polaire d’un cercle centré à l’origine est r=|a|.
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=element(0..5);
    plotpolar(a,t);

Le cercle centré en A=x0+i*y0 est le translaté du précédent dans la translation de vecteur l’affixe du point A.
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=element(0..5);
    translation(affixe(A),plotpolar(a,t))

L’équation polaire d’un cercle passant par l’origine et de diamètre OA=d avec (Ox,OA)=t0 r=d*cos(t−t0).
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=affixe(A);
    plotpolar(abs(a)*cos(t-arg(a)),t);

Le cercle centré en B=x0+i*y0 est le translaté du précédent dans la translation de vecteur l’affixe du point B.
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de A et de B on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(1,0);
    B:=point(0,1);
    ba:=affixe(A-B);
    translation(affixe(B),plotpolar(abs(ba)*cos(t-arg(ba)),t));

## 7.3 L’ellipse

L’équation cartésienne d’une ellipse centrée en A=x0+i*y0 et de demi-axes de longueur |a| et |b| est :
(x−x0)2/a2+(y−y0)2/b2=1
on a a2=b2+c2 et AF=AF′=|c| si F et F′ sont les foyers.

L’équation paramétrique d’une ellipse centrée en A=x0+i*y0 est :
x(t)=x0+a*cos(t), y(t)=y0+a*sin(t).
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=element(0..5);
    plotparam(affixe(A+a*cos(t)+i*b*sin(t)),t)

Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
`ellipse`, `conique` et `conique_reduite`.

## 7.4 L’hyperbole

L’équation cartésienne d’une hyperbole centrée en A=x0+i*y0 et de demi-axes de longueur |a| et |b| est :
(x−x0)2/a2−(y−y0)2/b2=1 (on a a2=b2+c2 et AF=AF′=|c| si F et F′ sont les foyers).

L’équation paramétrique d’une hyperbole centrée en A=x0+i*y0 est x(t)=x0+a*cosh(t), y(t)=y0+a*sinh(t).
Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    a:=element(0..5);
    plotparam(affixe(A+a*cosh(t)+i*b*sinh(t)),t)

Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
`hyperbole`, `conique` et `conique_reduite`.

## 7.5 La parabole

L’équation cartésienne d’une parabole de sommet A=x0+i*y0 et de directrice d d’équation x=a=x0−p/2 (où p/2 est la distance de A à d) a pour équation :
(y−y0)2=4x(x0−a)−x0(x0−a)=4(x−x0)(x0−a)=2*p*(x−x0) Par exemple, si p=3, x0=1 et y0=2, son sommet est `A:=point(1,2)`, son foyer F est défini par `F:=point(1+3/2,2)` et son équation est :
(y−2)2=6*(x−1) L’équation paramétrique d’une parabole est :
x0+t2/(2*p)+i(t+y0) Avec `Xcas`
Si on veut voir l’influence de A et de p, on tape dans un écran de géométrie :

    A:=point(0,1);
    p:=element(-5..5);
    plotparam(affixe(A)+t^2/(2*p)+i*t,t)

Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
`parabole`, `conique` et `conique_reduite`.

## 7.6 Propriétés caractéristiques de la parabole

### 7.6.1 Définitions

En géométrie plane la définition est : On appelle parabole le lieu géométrique du centre M d’un cercle tangent à une droite d et passant par un point F.
d est la directrice de la parabole
F est le foyer de la parabole
la distance de F à d est le paramètre p de la parabole.

### 7.6.2 Propriétés de la parabole

Une condition nécessaire et suffisante pour que M appartienne à la parabole de foyer F et de directrice d est que M est équidistant de F et de d.
En tout point la parabole admet une tangente. Soit K est la projection de m sur d. La tangente en M est la médiatrice du segment FK où K est la projection de m sur d et c’est aussi la bissectrice de l’angle FMK.

### 7.6.3 Propriétés caractéristiques de la parabole

Soit (P) une parabole de foyer F et de directrice d.
On suppose que des rayons lumineux perpendiculaires à d arrivent sur P du même côté que F. Alors tous les rayons réfléchis par la parabole perpendiculairement à d passent par le foyer F.
En effet la tangente t en M est la bissectrice de l’angle FMK.
Question Quelles sont les courbes qui ont cette propriété ?
On cherche donc les courbes telles que : les rayons lumineux qui se réfléchissent sur sa surface passent par tous par un même point F.
Si t est la tangente en M, On considère le point K situé dans le prolongement du rayon incident et tel que KM=MF.
Soit I est le milieu de KM. On va montrer que K se déplace sur une droite fixe d. Pour cela on prend F comme origine d’un repère avec Fx parrallle au rayon incident.
On a donc la figure :

Soient (x,y) les coordonnées de M et a=KMI=IMF. On suppose y>0 i.e y′>0 car le problème est symétrique par rapport à Fx.
On a donc : y′=tan(a) (c’est la pente de la tangente t)
tan(2*a)=y/x=2tan(a)/1−tan(a)22y′/1−y′2 donc

yy′2+2y′x−y=0

ou puisque l’on a supposé y′>0

y′=

−x+

√

x2+y2

y

ou

yy′=−x+

√

x2+y2

On obtient une équation différentielle à résoudre.
Résolution de yy′=−x+√x2+y2 par changement de variable

On a :
yy′+x=√x2+y2 Le premier membre est la dérivée de (y2+x2)/2, on pose donc :
z=(y2+x2)/2 et l’équation différentielle devient :
z′=√2z ou z′/√2z=1donc
√2z=x+p où p=Cste
donc x2+y2=(x+p)2
On trouve l’équation de la parabole de foyer l’origine F et de directrice d d’équation x=−p.
Résolution de yy′=−x+√x2+y2 géométriquement

On a :
KM=MFi=√x2+y2i
donc OK=OM+MK a pour coordonnées : xK=x−√x2+y2 et yK=y Montrons que lorsque M se déplase sur le courbe, xK reste constant. xK est une fonction de x dérivable de dérivee :
x′K=1−x+y*y′/√x2+y2=√x2+y2−x−y*y′/√x2+y2
On remplace yy′ par sa valeur et on obtient :
x′K=√x2+y2−x−(−x+√x2+y2)/√x2+y2=0
Donc xK=−p et M est sur une parabole de foyer F et de directrice d d’équation x=−p.

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