# Library Coq.Numbers.Natural.SpecViaZ.NSig

Require Import ZArith Znumtheory.
Open Scope Z_scope.

# NSig

Interface of a rich structure about natural numbers. Specifications are written via translation to Z.
Module Type NType.
Parameter t : Type.
Parameter to_Z : t -> Z.
Local Notation "[ x ]" := (to_Z x).
Parameter spec_pos: forall x, 0 <= [x].
Parameter of_N : N -> t.
Parameter spec_of_N: forall x, to_Z (of_N x) = Z_of_N x.
Definition to_N n := Zabs_N (to_Z n).
Definition eq n m := [n] = [m].
Definition lt n m := [n] < [m].
Definition le n m := [n] <= [m].
Parameter compare : t -> t -> comparison.
Parameter eq_bool : t -> t -> bool.
Parameter max : t -> t -> t.
Parameter min : t -> t -> t.
Parameter zero : t.
Parameter one : t.
Parameter succ : t -> t.
Parameter pred : t -> t.
Parameter add : t -> t -> t.
Parameter sub : t -> t -> t.
Parameter mul : t -> t -> t.
Parameter square : t -> t.
Parameter power_pos : t -> positive -> t.
Parameter power : t -> N -> t.
Parameter sqrt : t -> t.
Parameter div_eucl : t -> t -> t * t.
Parameter div : t -> t -> t.
Parameter modulo : t -> t -> t.
Parameter gcd : t -> t -> t.
Parameter shiftr : t -> t -> t.
Parameter shiftl : t -> t -> t.
Parameter is_even : t -> bool.
Parameter spec_compare: forall x y, compare x y = Zcompare [x] [y].
Parameter spec_eq_bool: forall x y, eq_bool x y = Zeq_bool [x] [y].
Parameter spec_max : forall x y, [max x y] = Zmax [x] [y].
Parameter spec_min : forall x y, [min x y] = Zmin [x] [y].
Parameter spec_0: [zero] = 0.
Parameter spec_1: [one] = 1.
Parameter spec_succ: forall n, [succ n] = [n] + 1.
Parameter spec_add: forall x y, [add x y] = [x] + [y].
Parameter spec_pred: forall x, [pred x] = Zmax 0 ([x] - 1).
Parameter spec_sub: forall x y, [sub x y] = Zmax 0 ([x] - [y]).
Parameter spec_mul: forall x y, [mul x y] = [x] * [y].
Parameter spec_square: forall x, [square x] = [x] * [x].
Parameter spec_power_pos: forall x n, [power_pos x n] = [x] ^ Zpos n.
Parameter spec_power: forall x n, [power x n] = [x] ^ Z_of_N n.
Parameter spec_sqrt: forall x, [sqrt x] ^ 2 <= [x] < ([sqrt x] + 1) ^ 2.
Parameter spec_div_eucl: forall x y,
let (q,r) := div_eucl x y in ([q], [r]) = Zdiv_eucl [x] [y].
Parameter spec_div: forall x y, [div x y] = [x] / [y].
Parameter spec_modulo: forall x y, [modulo x y] = [x] mod [y].
Parameter spec_gcd: forall a b, [gcd a b] = Zgcd [a] [b].
Parameter spec_shiftr: forall p x, [shiftr p x] = [x] / 2^[p].
Parameter spec_shiftl: forall p x, [shiftl p x] = [x] * 2^[p].
Parameter spec_is_even: forall x,
if is_even x then [x] mod 2 = 0 else [x] mod 2 = 1.
End NType.
Module Type NType_Notation (Import N:NType).
Notation "[ x ]" := (to_Z x).
Infix "==" := eq (at level 70).
Notation "0" := zero.
Infix "+" := add.
Infix "-" := sub.
Infix "*" := mul.
Infix "<=" := le.
Infix "<" := lt.
End NType_Notation.
Module Type NType' := NType <+ NType_Notation.