% file: growth.ctx

\chkeven

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]%
   {\markright{\thesection~ #1}}
\fancyfoot[LE]{$\cdot$~\thepage~$\cdot$\rule{5mm}{0pt}\leftmark}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\sz12\m11.5
\chapter[經濟成長]{經濟成長}\label{growth}
\firstpage{\f12
\item[\abs] 各國的經濟成長
\item[\abs] 生產函數
\item[\abs] 成長會計
\item[\abs] Solow 成長模型}
{各國的經濟成長率高低不同。\\
1960-85年之間, 台灣的實質每人GDP\\
成長率平均為6.2\%, 瑞士是1.7\%, \\
日本為5.5\%, 印度只有0.5\%。\\
以上四個國家, 瑞士與日本的\\
每人所得很高, 台灣中等, 印度則甚低。\\
由統計資料可以看出來, \\
各國的平均每人所得水準高低不同,\\
成長率的差異也很大。}
% 而且, 平均每人所得高的國家, \\
% 成長率不一定高; 相反的, \\
% 目前所得水準偏低的國家, \\
% 成長率可能很高。}

\vfill\noindent
\hspace*{-1cm}\includegraphics[height=.25\textheight]{growth.eps}

\newpage
\noindent
成長率6.2\%與1.7\%差別在那裡呢?
若平均每人GDP成長率是6.2\% (如台灣),
則大約經過12年之後,
平均每人所得會增加一倍。
以台灣為例, 1984年的平均每人所得是新台幣130,189元
(以1991年的幣值計算);
到了1995年已增加一倍, 變成263,189元。
反之, 如果成長率是1.8\% (如瑞士),
則大約要經過41年每人所得才會增加一倍。

經濟成長率的高低是決定國民生活水準最重要的因素。
因此, 世界各國政府莫不以提升經濟成長率為重要目標。
但是, 為何有些國家的成長率高於一般國家?
那些政策才能提升經濟成長率?
毫無疑問, 目前成長率較低的國家一定很想知道答案。
如果我們能了解高成長率的原因,
而且其中的秘訣是可以學習的,
則低成長率的國家即可提升其經濟成長率與生活水準;
真是其善莫大焉!

長久以來, 經濟學者即專注於經濟成長問題的研究。
到目前為止, 雖然經濟學家對此問題還沒有完整的答案,
但對於經濟成長的原因也有不少了解。
本章將說明, 固定投資、 勞動力的數量與品質、
生產技術等三項是促進經濟成長最重要的因素。

\section[Solow 成長模型]{\textsf{Solow} 成長模型}
以上的討論說明經濟成長的動力來自技術進步,
資本累積, 及勞動力增加;
其中, 技術進步更是一國經濟得以持續成長的重要因素。
由台灣成長會計之計算結果,
我們了解過去二十年間台灣經濟成長的主要原因。
經濟學是一門科學, 目的是{\bb11.5 解釋}經濟現象。
成長會計之統計數字雖然確認了促成經濟成長的因素,
但並未 「解釋」 這些因素經由什麼途徑促進經濟成長。

本節所介紹的 Solow 經濟成長模型,
目的就是要解釋固定資本存量的多寡對於經濟成長之影響。
Solow 成長模型是美國經濟學家
Robert Solow 於1956年所發表的。 \index{Solow, Robert}
首先, 假設一國之總合生產函數如下:
\[
   Y = F(K, L)\mbox{。}
\]
其中, $L$ 為勞動投入, $K$ 代表固定資本存量。
為簡化分析, 假設此一經濟並無政府部門,
與其他國家沒有貿易往來,
而且勞動投入量為固定。
在以上的假設下, 國民儲蓄淨額等於固定投資淨額:
\[
  S = I - D = I - \delta K = \Delta K, \quad 0<\delta<1\mbox{。}
\]
上式中, $S$ 代表國民儲蓄淨額,
 $I$ 代表毛投資, $D$ 為折舊, $\delta$ 為折舊率,
$I-\delta K$ 稱為固定投資淨額,
亦稱為{\bb11.5 淨投資} (net investment)。
\index{投資!淨投資}
\index{net investment ~ 淨投資}

% 進一步定義{\bb11.5 毛儲蓄} (gross saving) 為
國民儲蓄淨額加上折舊:
$S+\delta K$, 稱為國民儲蓄毛額。 \index{儲蓄!毛儲蓄} \index{國民儲蓄毛額}
 \index{gross saving ~ 毛儲蓄} \index{儲蓄率}
Solow 模型假設國民儲蓄毛額占GDP的比率 (儲蓄率) 為固定值:
\[
  S + \delta K = sY = sF(K,L), \quad 0<s<1;
\]
上式中, $s$ 代表儲蓄率。
儲蓄率為固定之假設合理嗎?
根據主計處之估計, 1993年國民儲蓄率為27.8\%,
其後一路下降, 1998年為23.5\%。
事實上, 在1980年代中期, 台灣的儲蓄率曾高達35\%。
因此, 以台灣過去15年的數字來看,
儲蓄率並非每一年皆相同。
但是, 由各國之統計數字可知, 各國的儲蓄率雖然高低不同,
但似無長期上升或下降的趨勢。
因此, 假設儲蓄率為固定值, 與現實並無太大抵觸。
 \index{儲蓄率}

因為國民儲蓄毛額等於毛投資,
因此上式可寫為:
\[
 S+\delta K = \Delta K + \delta K = sY\mbox{。}
\]
由第二個等號可推得:
\begin{equation}\label{changek}
   \Delta K = sY - \delta K, \quad 0<\delta<1\mbox{。}
\end{equation}
式 (\ref{changek}) 說明固定資本存量的變動決定於儲蓄率與折舊率兩項變數。
以1998年為例, 當年之GDP 約87,000億元,
國民儲蓄毛額約 20,500億元。
固定資本存量並無精確估計,
但假設固定資本存量為 GDP 的3倍, 等於261,000億元;
而折舊率為3\%, 則折舊將等於7,830億元,
資本存量變動 $\Delta K$ 等於新台幣12,670億元。
(以上計算假設台灣與其他國家並無貿易往來。)

\mfig{
  \psfrag{ni}[c][c]{\m10 淨投資}
  \psfrag{dk}[l][l]{\small $K_1-K_0$}
  \psfrag{k0}[c][c]{\small $K_0$}
  \psfrag{k1}[c][c]{\small $K_1$}
  \caption{\textsf{Solow} 的成長模型}\label{grow}
  \includegraphics[width=\textwidth]{solow.eps}
  \fignote{\sz10\m10
  若資本存量為 $K_0$, 儲蓄率為 $s$,
  當期之淨投資等於儲蓄減去折舊,
  為圖中之 $K_1 - K_0$; 故 $t=1$ 期初之資本存量為 $K_1$。
  同理, 可推導出 $t=2$ 期初之資本存量。
  長期成長之後, 此社會之資本存量將趨於 $K^*$,
  產出也趨向於固定值 $Y^* = F(K^*, L)$,
  此稱為恆定狀態。 若儲蓄率上升,
  恆定狀態之產出也上升。}}

圖\Z\ref{grow}\Z 說明固定資本存量變動之過程。
為簡化說明, 假設勞動投入固定不變,
以 $K_0$ 代表 $t=0$ 期初之資本存量,
$K_1$ 代表 $t=1$ 期初之資本存量。
第0期之折舊為 $\delta K_0$,
產出為 $Y_0 = F(K_0, L)$;
儲蓄率為 $s$,
因此毛儲蓄等於 $sY_0$;
此為圖中 $sF(K,L)$ 線在 $K_0$ 點之高度,
而折舊即為 $\delta K$ 線之高度。
由式 (\ref{changek}), 兩線在 $K_0$ 點之垂直距離即為第0期之淨投資:
\[
  sF(K_0, L) - \delta K_0 = \Delta K = K_1-K_0 \mbox{。}
\]
淨投資之數量一旦確定, 且 $K_0$ 為已知,
$K_1$ 即可算出。
到了第1期, 以同樣的方法可以求出 $t=2$ 期初之固定資本存量 $K_2$。
以此方式, 未來各期期初之資本存量
$K_i, i=3, 4, \dots$ 都可以算出來,
各期之產出也可求出。

Solow 成長模型雖然簡單,
不過它具體地描述一個國家固定資本存量累積與產出變動之過程。
再以1998年之統計為例,
該年之 GDP 為87,000億元,
年初固定資本存量為261,000億元。
為簡化計算, 假設儲蓄率為25\%,
折舊率 $\delta$=3\%, 則當年之固定投資淨額為13,920億元,
因此1999年初資本存量增加為274,920億元。
假設生產函數為 Cobb-Douglas,
$\beta$ 值等於0.4,
因為勞動投入與技術水準都假設固定不變,
GDP 成長率等於 $\beta$ 乘上資本存量成長率:
\[
\frac{\Delta Y}{Y} = \beta \frac{\Delta K}{K} \mbox{。}
\]
因此可推算1998-99年之 GDP 成長率為0.4 $\cdot$ (13,920/261,000) = 2.13\%,
1999年之 GDP 將等於新台幣88,853億元。
請注意, 以上計算假設勞動投入與技術水準皆不變。

由1999年之 GDP 與年初資本存量,
依同樣方法可推算出2000年及以後各年之 GDP。
譬如說, 1999-2000年之 GDP 成長率將為2.03\%,
比起前一年之2.13\%下降一些。
而2000-2001年之 GDP 成長率會再下降一些。
由圖\Z\ref{grow}\Z 可以看出來,
GDP 成長率之所以會下降, 原因是生產函數之形狀:
當資本存量增加時,
資本邊際產量隨著 $K$ 之增加而遞減。

\subsection[恆定狀態]{恆定狀態}
由圖\Z\ref{grow}, 我們發現若技術水準固定不變,
長期成長的結果, 淨投資將趨近於零,
固定資本存量趨近於一固定值 $K^*$,
GDP 則趨近於固定值, $Y^* = F(K^*, L)$。
經濟學家稱此一狀態為{\bb11.5 恆定狀態} (steady state)。
在恆定狀態時, 產出不再改變, 淨投資為零,
毛投資等於固定資本折舊。 \index{恆定狀態|(}  \index{steady state ~ 恆定狀態}

國內生產毛額為何會趨近於恆定狀態?
主要原因是資本邊際產量遞減。
從第0期開始, 固定資本存量不斷增加;
資本邊際產量則不斷遞減。
每一期產出增加的幅度不斷減少,
到最後產出乃趨近於一固定值。
若以成長率來看,
恆定狀態表示經濟成長率將趨近於零。
\index{資本邊際產量}

Solow 的成長模型相當簡化:
儲蓄率假設為固定,
勞動投入亦假設為固定, 而且技術維持不變。
但是, 此一模型很清楚地說明儲蓄、 投資及產出的跨期變動過程;
同時也點出投資與儲蓄在經濟成長中之重要性。

圖\Z\ref{grow}\Z 之 $K^*$ 代表儲蓄率為 $s$ 時之恆定狀態。
現若儲蓄率上升為 $s'$, 產出之變動為何呢?
圖中也畫出儲蓄率為 $s'$ 之恆定狀態,
資本存量增加為 $K^{*\prime}$。
顯然, 儲蓄率上升時, 恆定狀態之產出水準也較高。
其中的道理並不難了解。
儲蓄率上升表示本期的產出用於消費的比率較低,
用於投資的比率較多。
本期若生產較多的資本財,
下一期期初即累積較多的資本存量,
因此產出上升的幅度也較大。

但是, 不管儲蓄率多高, 一旦到達恆定狀態,
產出成長率皆為零。
因此, 根據 Solow 的模型,
若兩個國家之儲蓄率高低不同, 但皆處於恆定狀態,
儲蓄率較高的國家所得水準會比較高,
但經濟成長率不會比較高。

\subsection[人口成長與技術進步]{人口成長與技術進步}
以上的討論假設勞動投入固定。
現假設人口有一固定成長率,
而且就業人口占總人口之比率為固定,
每月工作時數也是固定,
則勞動投入之成長率將與人口成長率相同。
若生產函數仍為 Cobb-Douglas, 則
\[
  y = A \cdot k^\beta\mbox{, }
\]
其中, $y=Y/L$ 為勞動生產力, $k=K/L$ 為資本/勞動比率。
將前面式 (\ref{changek}) 各變數除以 $L$, 可得
\begin{equation}\label{changekl}
   \Delta K/L = s\cdot y - \delta \cdot k \mbox{。}
\end{equation}

根據定義, $k=K/L$, 因此
\[
\Delta k/k = \Delta K/K - \Delta L/L = \Delta K/K - n \mbox{。}
\]
上式中, $\Delta L/L = n$ 代表勞動投入成長率。
經過移項, 並以 $K/L$ 乘上各項,
可推得:
\[
{\Delta K \over L} = n \cdot k + \Delta k \mbox{。}
\]
將上式代入式 (\ref{changekl}) 中, 經過整理, 可得:
\begin{equation}\label{sstate}
  \Delta k = s \cdot y - (n + \delta) \cdot k\mbox{。}
\end{equation}
式 (\ref{sstate}) 說明資本/勞動比率之變動決定於下列因素:
儲蓄率, 勞動生產力, 人口成長率, 折舊率, 及資本/勞動比率本身。
 \index{技術進步} \index{勞動生產力} \index{折舊!折舊率}
 \index{儲蓄!儲蓄率}


\sfig{
  \caption{資本勞動比率與勞動生產力}\label{ssgrow}
  \includegraphics[width=\textwidth]{solow-pop.eps}}
  {\sz10\m10
  若生產函數為 Cobb-Douglas, 勞動生產力可表示為資本/勞動之函數:
  $y=A \cdot k^{\beta}$。 若勞動投入以固定比率 $n$ 成長,
  則恆定狀態之 $k^*$ 為固定值,
  資本存量與產出將以 $n$ 之比率增加。}

圖\Z\ref{ssgrow}\Z 畫出勞動生產力之變動。
因為 $y=Ak^{\beta}$, 勞動生產力線之形狀與一般生產函數類似。
曲線 $s \cdot y$ 與 $(n+\delta) \cdot k$
直線之垂直距離即為資本/勞動之變動, $\Delta k$。
仿照圖\Z\ref{grow}\Z 之分析,
此一經濟會逐漸趨近於恆定狀態。
當達到恆定狀態時,
資本/勞動 $k^*$ 不再變動,
因此勞動生產力 $y^*$ 亦為固定值。
但是, 根據定義 $k = K/L$, 因此若 $k$ 不再變動, 而 $L$ 之成長率為每年2\%,
則資本存量之成長率亦為2\%。
同理, 實質GDP成長率與勞動投入成長率也相同。

根據以上推論, 若生產技術不變,
一國的經濟成長率最後都會等於勞動投入成長率。
此一結論與現實經濟相符嗎?
某些開發中國家之人口 (勞動投入) 成長率甚高,
但 GDP 成長率並不高。
反之, 亞洲四小龍之 GDP 成長率比其他國家高,
但勞動投入成長率並非特別高。
從另一個角度來看, 在恆定狀態時,
$k=0$, 亦即勞動生產力之成長率也等於零。
但是, 前面2.3節討論台灣的成長會計時,
曾計算1979年以來之勞動力成長率,
我們發現各年之成長率都大於零, 而非等於零。
顯然, 圖\Z\ref{ssgrow}\Z 之模型也不能解釋現實經濟現象。

\addtocontents{toc}{\protect\\*}
\subsection[國際間之所得分配]{國際間之所得分配}
技術進步是經濟成長的重要因素。
低所得國家若欲提升經濟成長率, 除了增加勞動投入,
提高投資之外, 更重要的是仿效、 學習高所得國家之技術。
實際上, 許多所得較低的國家的確是相當努力地仿效學習已開發國家之技術,
台灣就是一個例子。
1895年以來,
台灣努力學習日、 美等國的生產技術,
到了今天已逐漸有能力自行發展新技術。
 \index{所得分配!國際間|(}

現假設有甲、 乙兩國, 甲國平均每人所得較乙國高。
若乙國努力學習甲國之技術,
則兩國之生產函數會逐漸接近。
為了簡化討論, 以下假設甲、 乙兩國之生產函數相同,
且固定不變。
根據 Solow 模型, 若一開始乙國之資本/勞動比率遠低於甲國,
則其勞動生產力也較低。
但由圖\Z\ref{ssgrow}\Z 可知,
透過資本累積之過程, 乙國之資本/勞動比率將逐漸接近甲國;
換言之, 甲、 乙兩國之勞動生產力會越來越接近,
並一同趨近於恆定狀態之水準。
到最後, 兩國之平均每人所得也會趨於相等。

目前, 貧富國家的平均每人所得差異甚大。
如果以上 Solow 模型能解釋經濟成長現象,
則預期未來各國之貧富差距會越來越小。
不過, 先不論未來的演變,
我們先來觀察了解人類歷史發展過程中,
國際間所得分配是否真的如 Solow 模型所說的,
會趨於平均?

根據 Pritchett (1997) 之研究,
從1870年以來國際間之平均每人所得並無趨於接近之現象。\footnote{
見 Pritchett, Lant (1997), ``Divergence, big time",
\textit{Journal of Economic Perspective}, 11:3, 3-17。}
他的論證可以簡單說明如下。 \index{Pritchett, Lant}
美國是目前平均每人所得相當高的國家。
在1870-1960年間, 美國的平均每人所得約增加4倍。
因此, 目前所得較低的國家若在同一期間內平均每人所得增加之倍數小於4,
則可推知此國與美國之所得差距越來越大。
不過, 目前所得較低的國家幾乎都沒有1870年之國民所得統計,
因此無法計算其過去九十年間經濟成長率,
也使得直接之比較變得不可能。

Pritchett 使用間接的方法估算低所得國家之經濟成長率。
他指出, 一國之平均每人所得再低也不能低於最低存活所得
(subsistence income)。 \index{subsistence income ~ 最低存活所得}
如果某社會之平均每人所得低於存活水準,
此社會之死亡率會高於出生率, \index{最低存活所得}
人口會逐漸減少而至於滅絕消失。
根據此一推論, 他首先估算出存活水準之平均每人所得應該是多少。
其次, 假設今天較貧窮國家在1870年時之平均每人所得剛好只達存活水準,
則由1960年之國民所得統計即可算出該國過去九十年間之成長率。

舉例來說, 1960年全世界最貧窮的國家之一是衣索比亞
(Ethiopia), 而其當年之平均每人所得僅略高於存活水準。
由此可知, 1870-1960年間衣索比亞之經濟成長率遠低於美國;
九十年間兩國之平均每人所得差距實際上越來越大。
進一步言之,
目前有較完整國民所得統計的國家有125個。
利用以上之推論, Pritchett 的計算發現, 在1870-1960年間,
至少有42個國家之平均每人所得成長率低於美國。
因此, 國際間貧富國家之所得差距並無縮小之現象。
 \index{所得差距}

以上所介紹的證據和 Solow 成長模型的預測並不相符。
從這個角度來看, Solow 成長模型並不能解釋現實的經濟成長現象。
不過, 以上的推論假設技術進步是固定的,
實際狀況並非如此。 \index{成長模型!Solow}
另外, 我們也假設勞動投入之成長率也是固定的;
實際上, 經由教育與學習, {\bb11.5 人力資本} (human capital)
可以不斷累積。 因此, 就人力資本而言,
大學畢業生與國中畢業生有相當大的不同。
把以上的可能性納入, Solow 模型會有較豐富的內涵,
其解釋現象能力也會上升。 \index{人力資本}

以上的分析假設生產技術維持不變。
若生產技術每年提升,
則如圖\Z\ref{endg-growth}\Z 所示,
$s \cdot y$ 線將逐年上升。
(為什麼呢?)
在 $t=0$ 期初, 資本存量為 $k_0$,
因為技術水準較低, 儲蓄線也較低。
到了 $t=1$ 時, 技術進步使勞動生產力增加。
若儲蓄率不變, 儲蓄線仍上移。
到了 $t=2$, 技術再進步, 儲蓄線更上升。
圖\Z\ref{endg-growth}\Z 的例子中,
各年之儲蓄點恰連成一直線。
這表示, 若將技術進步納入考慮, 則勞動生產力可表示為:
\begin{equation}
   y=B\cdot k\mbox{。}
\end{equation}
因為生產函數為一直線, 恆定狀態不存在,
資本存量將持續增加, 勞動生產力也會持續成長。

利用式 (7), 我們可算出資本/勞動比率之變動:
\[
  \Delta k = sB \cdot k - (n + \delta)k = (sB - (n + \delta))k \mbox{。}
\]
因此, 資本/勞動之成長率 $\Delta k/k$ 等於一固定值:
$sB - (n+ \delta)$。
進一步由勞動生產力函數式 (8) 可算出:
\[
   \frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta k}{k} =
   sB - (n + \delta) \mbox{。}
\]
最後, 由勞動生產力之定義可知:
\[
   \frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta L}{L} =
    sB - (n + \delta) +n = sB -\delta\mbox{。}
\]

因此, 在本例子中,
將技術納入考慮之後, Solow 模型對於經濟成長的預測是,
產出成長率不會趨近於零。
而且, 儲蓄率較高的國家, 產出成長率也較高。

\mfig{
  \caption{技術進步與經濟成長}\label{endg-growth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{endg-growth.eps}
  \fignote{\sz10\m10
  本圖中, 各期之儲蓄點連接起來恰為一直線,
  故經濟將持續成長, 不會趨近於恆定狀態。
  }}

除了勞動力、 固定資本、 與技術之外,
制度面的因素對於經濟成長也有重要影響。
譬如, 保障財產權是創造發明的誘因,
也是一般人願意辛苦工作與儲蓄的重要誘因。
因此, 財產權制度較完善的國家,
人民會較努力工作, 也會有較多的創造發明;
這會提升一國的經濟成長率。\footnote{
見 ``The road to riches", \textit{The Economist},
Dec. 31, 1999, 10-12。}

綜合以上之說明, 本節所介紹的 Solow 模型雖然能解釋經濟成長的某些原因;
但仍然有許多現象尚待解釋。
過去十幾年來, 許多總體經濟學家持續探討經濟成長的現象,
此項研究通稱為{\bb11.5 內生成長模型}
(endogenous growth models), 迄今方興未艾。
\index{成長模型!內生}
\index{endogenous growth model ~ 內生成長模型}
 \index{成長模型!Solow|)}
 \index{恆定狀態|)}  \index{所得分配!國際間|)}

\newpage
\begin{summary}
\noindent
大約從18世紀迄今的兩百年是人類有史以來經濟成長率最高的時期;
而經濟成長率的提高主要是得力於技術進步。
與世界各國比較, 一百年來台灣的經濟成長率相當高。
在1960-85年間, 台灣平均每人 GDP 年成長率約6.2\%,
這表示大約每隔11年, 平均每人 GDP 就提高一倍。
以一個具體例子來說明,
1992年的大學畢業生的實質薪資所得大約是1980年大學畢業生的2倍。

經濟學以生產函數的概念說明產出與要素投入之間的關係;
而要素投入主要是勞動投入與固定資本兩項。
Cobb-Douglas 生產函數是經濟學家最常使用的生產函數,
原因是它簡單而具體地表現生產活動的特徵。
{\bb11.5 勞動生產力}是指每單位勞動投入之產出。
一般而言, 勞動生產力與平均每人 GDP 會同比例變動。
因此, 觀察一國之勞動生產力即可大體了解其平均每人國民所得之變化。

成長會計 (growth accouning) 之計算是將經濟成長率拆解為技術進步率、
固定資本成長率、 與勞動投入成長率三部分。
根據計算, 1980年代台灣的高經濟成長率主要是得力於勞動投入成長率%
及固定資本的累積。 但是,
1990年代開始, 台灣經濟成長的動力已逐漸轉變成以技術進步為主。
若此一趨勢能繼續下去,
未來台灣還是可能維持高成長率。

Solow 的成長模型主要說明儲蓄與經濟成長之關係。
若國際貿易不存在, 固定資本形成等於國民儲蓄;
因此儲蓄率越高時, 固定資本累積越快, 經濟成長率也越高。
但是, 若技術水準不變, 因為資本邊際產量遞減的關係,
經濟成長率會越來越小, 最終將趨近於零;
這稱為{\bb11.5 恆定狀態} (steady state)。
由此可知, 欲求長期經濟持續成長, 技術進步是關鍵因素。

由長期資料來看, 世界上貧富國家平均每人所得之差距並無逐漸縮小之趨勢。
以一個簡單例子來看, 過去二、 三十年之間,
台灣的平均每人 GDP 成長率約6\%,
而印度大約只有1.5\%, 因此兩國平均每人所得之差距越來越大。
台灣維持高成長率的原因為何?
其他國家有辦法仿效台灣的經驗嗎?
這是總體經濟學最重要的研究課題。
\end{summary}

\begin{ex}
\begin{num}
\item 請至圖書館查出台灣自1950年以來之人口及勞動力 (labor force)
之成長率。
請查明內政部的人口統計中是否包含軍人在內?
如果不是的話, 請試著了解軍人人口大約有多少?
  \begin{sol}
行政院主計處曾以各種資料間接估計軍人人口數,
發現在1950年代初期, 台灣約有50萬軍人。
  \end{sol}

\item 教育改革是台灣今天最受重視的議題。
教育需要改革, 表示今天的教育問題重重。
換言之, 這似乎表示台灣的人力資本累積,
在過去與可見的未來都不如其他國家。
但是, Alwyn Young (1994) 一文似乎又暗示,
戰後以來台灣的勞動 (或人力資本) 成長率不比其他國家低。
請討論之。
  \begin{sol}
教育至少有兩個功能, 一是培養工作就業之能力;
二是培養群體生活所需俱備之特質,
如尊重他人, 互助合作, 道德規範等等。
台灣的經濟成長率高, 可能表示台灣的教育在第一點上的表現尚不差,
但是在第二點上則成效不彰。
(以上所述並非標準答案, 只是提供一個思考方向。)
  \end{sol}

\item 甲國的生產函函數為: $Y=A\cdot K^\beta \cdot L^{1-\beta}$,
 乙國生產函數的型態與甲國相同,
 但技術水準較高: $Y=2A\cdot K^\beta \cdot L^{1-\beta}$。
 請以 $K$ 為橫軸,
 在同一圖形畫出甲乙兩國之生產函數。
 \begin{sol}
  請參考課本圖形。
 \end{sol}

\item 請證明 Cobb-Douglas 生產函數具有下列特徵:
   \begin{num}
   \item 勞動邊際產量遞減, 資本邊際產量遞減,
    \begin{sol}
     請參見課本。
    \end{sol}
   \item 固定規模報酬。
    \begin{sol}
     請參見課本。
    \end{sol}
   \end{num}
%   \begin{sol}
%   除非研究發展對於社會上絕大部分的人都有助益,
%   否則政府沒有理由對特定企業發展作補助。
%   換言之, 若企業的研究發展只對自己有利,
%   而政府以納稅人的錢補助其研究, 這等於是圖利該特定企業。
%   \end{sol}

\item 1995年台灣的GDP為新台幣69,076.76億元。
假設生產函數為 Cobb-Douglas,
就業人口為904.5萬人,
假設平均每天工作8小時,
一年平均工作260天。
機器設備各式各樣,
單位各不相同,
但假設固定資本存量為100單位。
\begin{num}
\item 請計算多因素生產力 (請清楚寫出其單位)。
  \begin{sol}
生產函數 $Y_t=A_t\cdot K_t^\beta\cdot L_t^{1-\beta}$,
假設 $\beta=0.3$。
$K_t=100$單位, $L_t=904.5 \times 260 \times 8$ (萬人小時)。
因此,
\[
  A_t={Y_t\over {K_t^\beta \cdot L_t^{1-\beta}}}=
    {\mbox{69,076.76}\over (100)^{0.3} \cdot L_t^{0.7}},
\]
單位為: $\mbox{億元/(單位)}^{+0.3}\mbox{(萬人小時)}^{+0.7}\mbox{。}$
  \end{sol}

\item 假設1996年就業人口比前一年增加1\%,
工作時數及天數不變。
但是, 因為工作經驗增加、 學歷提高,
使得有效勞動力 (effective labor) 增加量為5\%。
換言之, 假設 $L_t$ 增加為原來的105\%。
假設技術水準不變; 資本存量變成105\%,
請計算GDP成長率。
 \begin{sol}
由正文式 (\ref{gac}), 因為 $\Delta K/ K=5\%$,
$ \Delta L/ L=5\%$,
$\Delta A/A=0$, 因此 $\Delta Y/ Y=5\%$。
\end{sol}
\end{num}

\item 經濟成長\\
假設台灣的生產函數為 $Y=A\cdot K^\beta \cdot L^{1-\beta}$,
其中, $\beta = 0.3$,
$K$ 為資本存量, $L$ 為勞動投入。
由以往資料發現, $Y$ 成長率為6\%, $K$ 為8\%,
$L$ 為2\%。
\begin{num}
\item 現假設技術成長率不變,
但 $L$ 成長率下降為1\%, 固定資本成長率則變成10\%。
請問 $Y$ 之成長率會變為多少?
 \begin{sol}
由正文式 (\ref{gac})及以往資料可算出 $\Delta A/A=2.2\%$ 。
因此 $\Delta Y/Y=2.2\%+ 0.3\cdot 10\%+ 0.7\cdot 1\%= 5.9\%$。
 \end{sol}
\item 為了提升經濟成長率,
經建會採取鼓勵儲蓄的政策。
為簡化題目, 假設資本折舊率等於零, 並且不考慮政府支出與稅收與對外貿易,
因此儲蓄等於投資 ($S=I$),
並且假設資本對產出之比率 $K/Y=3$。
若鼓勵儲蓄之政策讓儲蓄率 $S/Y$ 上升為30\%,
請問經濟成長率將變成多少?
(假設技術與 $L$ 之成長率維持原來水準, 亦即 $\Delta L/L=2\%$。)
 \begin{sol}
因為 $I=\Delta K$, 因此
\[  \Delta K/K = I/K = S/3Y = 10\% \mbox{。} \]
因此,
\begin{align*}
\Delta Y/Y &=2.2\% + 0.3\cdot 10\% + 0.7\cdot 2\% \\
 &= 6.6\% \mbox{。}
\end{align*}
 \end{sol}
\end{num}

% \item 請畫出民間消費支出占GDP之比率;
%       淨固定投資支出占GDP之比率。

\item 利用2.4節例子之數字,
  請分別算出2001-2002與2002-2003年之經濟成長率。
  \begin{sol}
   2001-2002年成長率為1.85\%; 2002-2003年成長率為1.77\%。
  \end{sol}


\item 設 A、 B 兩個國家之生產函數皆為
  $Y = A K^\beta \cdot L^{1-\beta}$,
  其中 $A > 0$, $0 < \beta <1$。
  兩國的資本折舊率皆為 $\delta$,
  第0期之資本存量也相同,
  皆為 $K_0$, A國的儲蓄率為 $s_A$ 高於 B 國之 $s_B$。
  請比較第0期時A與B產出成長率之高低。
  \begin{sol}
  A國在第0期的淨投資為 $s_AY-\delta K_0$;
  B國為 $s_BY-\delta K_0$。
  因此, A國第1期之資本存量高於B國;
  產出亦然 (假設勞動投入相同)。
  故A國之成長率較高。
  \end{sol}

\item 以 $N$ 代表人口數, $L$ 代表就業人口,
  $H$ 代表工時, $Y$ 代表總產出。
  若 $L$ 為 $N$ 之固定比率,
  $H$ 為固定值, 請證明:
  勞動生產力之成長率等於平均每人產出成長率。
  \begin{sol}
  $y = Y/N$ 為平均每人產出;\\
  $\bar y =Y/{L\cdot H}$ 為勞動生產力。\\
  因此, $dy/y = dY/Y - dN/N \mbox{。}\\
  {d\bar y}/{\bar y} = dY/Y -dL/L - dH/H$。\\
  但 $H$ 為固定值; 而 $dL/L =dN/N$, 故得證。
  \end{sol}

% \item 實質工資率
% \begin{enumerate}\itemsep=-2pt
%  \item 若勞動市場為完全競爭, 請推導:
%  \[
%    \mbox{實質工資率} = \mbox{勞動邊際產量。}
%  \]
%  \begin{sol}
%   廠商的利潤函數為 $pY(K,L)-wL$,
%   其中, $p$ 為商品價格, $w$ 為工資率。
%   短期時, $K$ 固定。
%   因此利潤最大的條件為 $p\cdot\mbox{MPL}=w$。
%  \end{sol}
%  \item 若進一步假設 Cobb-Douglas 生產函數,
%   請証明勞動邊際產量 $= (1-\beta)y$, $y$ 為勞動生產力。
%   \begin{sol}
%   生產函數為 $Y=AK^\beta L^{1-\beta}$,
%   因此, $\mbox{MPL}=(1-\beta)Ak^\beta$;
%   而勞動生產力 $y=Y/L=Ak^\beta$, 故得証。
%   \end{sol}
%  \end{enumerate}

\item 課本說明人力資本 (human capital) 的重要性。
  假設生產函數為:
  \[
   y_t = f(k_{t-1}, \bar n h_t)\mbox{。}
  \]
  其中, $\bar n$ 為固定的人口數, $h_t$ 為人力資本存量。
  在恆定狀態時, $k_t$ 與 $h_t$ 皆固定不變。
  現在想像兩個皆已處於恆定狀態的社會,
  其它條件都相同。
  但A社會成員的教育水準較高, 因此其人力資本高於B社會。
  請繪圖比較A, B兩個社會的實質資本存量的高低。
  (假設人力資本存量較高時, 其資本邊際產量也較高。)
  \begin{sol}
  為了使說明具體起見,
  假設生產函數為 Cobb-Douglas:
  \[
    y=Ak^\beta(\bar n h)^{1-\beta}
     = Ak^\beta\bar n^{1-\beta}h^{1-\beta}\mbox{。}
  \]
  將 $h^{1-\beta}$ 與代表技術水準的變數 $A$ 放在一起,
  A國之人力資本較高, 也可看成是其技術水準較好。
  倣照圖\Z\ref{grow},
  在恆定狀態時, A國之資本存量與產出都較B國為高。
  \end{sol}

\item 假設勞動投入 $L$ 為固定,
 當經濟體系達到恆定狀態時,
 \[
   sF(K^*, L) = \delta K^*\mbox{。}
 \]
 上式中, $s$ 為儲蓄率, $\delta$ 為折舊率。
 若生產函數為 Cobb-Douglas:
 \[
  Y=F(K,L)=AK^\alpha L^{1-\alpha},
 \]
 其中, $A$ 為固定常數, $0<\alpha<1$。
\begin{num}
\item 請導出在恆定狀態時之 $K^*$ 與 $Y^*$ 值。
 \begin{sol}
   $K^*=(sAL^{1-\alpha}/\delta)^{1/(1-\alpha)}$;
   $Y^*=AK^{*\alpha}L^{1-\alpha}$。
 \end{sol}
\item 在恆定狀態時, 請問淨投資、 毛投資、
  與消費之值各為何?
 \begin{sol}
  淨投資等於零; 毛投資等於折舊;
  消費等於 $(1-s)Y^*$。
 \end{sol}
\item 若生產函數並非 Cobb-Douglas, 而是 $Y=\phi K$,
 其中 $\phi$ 為固定常數。
 請問恆定狀態之 $Y^*$ 值為何?
 \begin{sol}
  恆定狀態下, 產出為固定值。
  當生產函數 $Y=\phi K$ 時, 產出不斷成長,
  並無恆定狀態。
 \end{sol}
\end{num}

\item 某稻作經濟社會, 人口數目固定不變,
  $t$ 期共生產稻穀 $y_t$, 消費為 $c_t$,
  其餘 $y_t-c_t$ 則作為下期稻作之種子。
  但是, 存放之稻穀會折損, 因此到了下一期,
  剩下的稻穀量為 $(1-\delta)(y_t-c_t)$,
  $0<\delta <1$。
  第 $t$ 期下種一單位種子, $t+1$ 期可生產 $1+\alpha$ 單位稻穀:
  \[
    y_{t+1} = (1+\alpha)(1-\delta)(y_t-c_t)\mbox{。}
  \]
  假設每一期之消費恰為當期全部稻穀之固定比例: $c_t = \theta y_t$。
 \begin{num}
 \item 請計算此經濟社會之產出成長率。
  \begin{sol}
   $y_{t+1}/y_t-1=(1+\alpha)(1-\theta)(1-\delta)-1$。
  \end{sol}
 \item 當 $\theta$ 上升時, 請問成長率之變動為何?
       請說明其經濟意義。
  \begin{sol}
    $\theta$ 上升, 儲蓄率下降, 成長率也下降。
  \end{sol}
  \end{num}

  現若其他條件不變, 但生產函數變成 Cobb-Douglas 型態:
  \[
    y_{t+1} = [(1-\delta)(y_t-c_t)]^\beta\mbox{。}
  \]
  本章討論經濟成長時曾說明, 若每一期之產出不再變動,
  亦即 $y_t = y_{t+1}$, 稱為已達恆定狀態。

 \begin{num}  \setcounter{enumii}{2}
 \item 定義經濟社會恆定狀態時之產出水準為 $\bar y$,
       請計算 $\bar y$ 之值。
 \begin{sol}
  $\bar y = [(1-\delta)(1-\theta)]^{\beta/(1-\beta)}$。
 \end{sol}
 \item 若 $\delta$ 值上升, 請問 $\bar y$ 之變動為何?
   請說明其經濟意義。
   \begin{sol}
    $\delta$ 為折舊率, 因此 $\delta$ 上升時, 恆定產出減少。
   \end{sol}
 \end{num}

\item 假設某國之生產函數為 Cobb-Douglas:
 \[
  Y = A\cdot K^\beta \cdot L^{1-\beta} \mbox{。}
 \]
 一國技術水準 $A$ 之持續進步可能使產出成長率維持大於零。
 現若某國之 $Y$ 之成長率為6\%,
 而且資本存量對 GDP 之比率為固定值: $K/Y=3$。
 假設該國之 $\beta=0.3$; 勞動投入之成長率 $\Delta L/L =2\%$;
 淨投資占 GDP 之比率 $I/Y =20\%$。
 請算出該國技術進步率 $\Delta A/A$ 等於多少?
  \begin{sol}
  由 Cobb-Douglas 生產函數,
  \begin{align*}
   \Delta Y/Y &= \Delta A/A +\beta \cdot \Delta K/K \\
              & ~~~~+ (1-\beta) \Delta L/L\\
              &= \Delta A/A +\beta \cdot I/3Y \\
              & ~~~~~+ (1-\beta) \Delta L/L \mbox{。}
  \end{align*}
  代入題目之數字, $6\% = \Delta A/A+ (0.3)\cdot (1/3)\cdot 20\% +
  (0.7) \cdot 2\%,$ 解出 $\Delta A/A=2.6\%$。
  \end{sol}
\end{num}
\end{ex}
