5.9 RECHTECKPLATTE, PLATTE NR. 19

Es soll eine dicke Rechteckplatte aus Stahl berechnet werden.

Daten:

- Abmessungen: 1.000 x 1.000 x 100 mm
- Flächenlast 46,42 N/mm2
- E-Modul 206.000 N/mm2
- Querkontraktionszahl 0.3

Wir werden die Platte als Superstruktur in AutoCAD zeichnen. Zeichnen Sie ein einziges Superelement Platte Typ 20, das dann vom Netzgenerator in 8 x 8 = 64 Platten vom Typ 19, also mit jeweils 16 Knoten zerlegt werden soll (von Hand per Editor geht es hier natürlich genauso schnell):

Windows: AutoCAD LT, Entwurf der Rechteckplatte.

Das genaue Vorgehen ist in Kapitel 2.7 beschrieben - versuchen Sie's einmal selbst und exportieren Sie die Zeichnung als Z88X.DXF ins Z88-Directory. Wenn's halt garnicht geht:

B18_X.DXF in Z88X.DXF umkopieren

Windows: CAD Konverter Z88X. Sieht bei UNIX ähnlich aus.

Sie wählen Umsetzung Z88X > Z88NI.TXT. Dann können Sie gleich den Netzgenerator laufen lassen:

Windows: Netzgenerator Z88N. Sieht bei UNIX ähnlich aus.

Dann können Sie mit Z88O die Struktur betrachten:

Windows: Plotprogramm Z88O, unverformte Struktur. Sieht bei UNIX ähnlich aus.

Jetzt gibt's etwas Arbeit: Sie müssen in Z88O die Knotennummern für die Randbedingungen ablesen. Dazu wäre zu überlegen, wie Sie die Platte lagern wollen. Wir machen einmal eine sog. Schneidenlagerung, d.h. die Plattenränder sind wie zwischen zwei Schneiden oben und unten gelagert, damit können sie wie bei einem Loslager in Querrichtung frei schwenken, können aber längs der Schneiden keine Wellen schlagen.

Wenn Sie also den vorderen Rand, der entlang X läuft, auf Schneiden lagern wollen, dann müssen Sie den Freiheitsgrad 1 (die Z-Richtung) und den Freiheitsgrad 3 (die Rotation um die Y-Achse) sperren.

Wir haben insgesamt 625 Knoten. Welche davon lagern wir ? Gute Frage ! Versuchen wir, um Arbeit zu sparen (meist keine gute Idee), zunächst nur die auf Rändern liegenden Eckknoten der Elemente zu sperren. Das sind die Knoten

- linker Rand: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25
- unterer Rand: 1, 76, 151, 226, 301, 376, 451, 526, 601
- oberer Rand: 25, 100, 175, 250, 325, 400, 475, 550, 625
- rechter Rand: 601, 604, 607, 610, 613, 616, 619, 622, 625

Windows: Ablesen der Knoten in Z88O. Sieht bei UNIX ähnlich aus.

Hier der Beginn und das Ende der Randbedingungs-Datei Z88I2.TXT (wenn Sie zu faul zum eingeben sind: B18_2ROU.TXT) :

`68`
`1 1 2 0.`
`1 2 2 0.`
`1 3 2 0.`
`4 1 2 0.`
`4 2 2 0.`
`....`
`622 1 2 0.`
`622 2 2 0.`
`625 1 2 0.`
`625 2 2 0.`
`625 3 2 0.`

Wir können einen der Solver starten. Die Struktur ist sehr klein, da ist der Cholesky-Solver richtig. Aus Z88O2.TXT lesen wir für den Knoten 313, der genau in Plattenmitte liegt, ab:

`313 +1.1236511E+001 -2.1751298E-008 +2.1751298E-008`

Die Verschiebungen U2 (also die Rotation um die X-Achse) und U3 (also die Rotation um die Y-Achse) sind praktisch Null, das sieht gut aus. Die Verschiebung U1, also w, ist 11,24 mm. "Analytisch" (das ist auch nur eine Näherung für dünne Platten, vgl. z.B. Dubbel) rechnet man:

f= (0.71 * p * b4) / (E * h3)= (0,71 * 46,42 * 5004) / (206.000 * 1003) = 10 mm

Damit haben wir eine Abweichung von (10 - 11,24) / 10 * 100 = 12%.

Wie kommt das? Erstens sind die analytischen Ansätze in der Literatur vom Kirchhoff-Typ, vernachlässigen also den Schub, sog. dünne Platten, zweitens sind sie aus Reihenentwicklungen entstanden und drittens könnten wir die Randbedingungen ruhig etwas sauberer formulieren! Denn so sieht unser Verformungs-Plot mit je 50-facher Vergrößerung aus:

Sehen Sie, wie die Ränder zwischen den Element-Eckknoten abheben? Also beißen wir in den sauren Apfel und lagern nun alle Randknoten (Datei B18_2.TXT in Z88I2.TXT umkopieren). Damit erhalten wir:

w am Knoten 313: 10,5 mm, Abweichung zur analytischen Rechnung ca. 5 % (die analytische Rechnung ist ansich auch nicht richtig, weil sie von dünnen Platten ausgeht, deren Dicke vielleicht 1/50, 1/100 und weniger der Längsabmessungen betragen!)

Für die Spannungen in Plattenmitte rechnet man "analytisch"

Sigmax = Sigmay = (1,15 * p * b2) / h2 = (1,15 * 46,42 * 5002) / 1002 = 1.335 N/mm2

Die Spannungs-Parameterdatei Z88I3.TXT richten wir für die Berechnung von Eckknoten ein:

`0 0 0`

Damit können Sie die Spannungen des Knotens 313 wahlweise aus den Elementen 28, 29, 36 oder 37 ablesen; es ist dort der Knoten mit XX= 600 und YY= 600: Sigmax = Sigmay = 1.334 N/mm2 .

Jetzt sind die Ränder sauber gelagert.

Abschließend lassen wir uns die Spannungen in den Gauß-Punkten rechnen und stellen Z88I3.TXT wie folgt ein:

`4 0 1`

Nach einem Z88D-Lauf können wir die Vergleichsspannungen betrachten:

Windows: Plot der GEH-Vergleichsspannungen in den 4 x 4 Gaußpunkten. Sieht bei UNIX ganz ähnlich aus.

Windows: Plot der Z Verschiebungen. Z88O. Sieht bei UNIX ganz ähnlich aus.
Sie haben damit einen kleinen Eindruck von Plattenberechnungen bekommen. Platten-Berechnungen sind immer teuflich! Dicke Platten rechnen Sie besser mit Volumenelementen bei quadratischem Ansatz, das ist zwar mehr Eingabeaufwand, aber die Ergebnisse sind immer verläßlich und frei von dubiosen Interpretationszwängen.